(0.5 pontos) Sobre a série sumn=1^+infty (-1)^n cdot sin (n)n! podemos afirmar que:
A série é absolutamente convergente.
A série é condicionalmente convergente.
A série é convergente.
A série é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a natureza da convergência da série
sumn=1^+infty (-1)^n,sin(n)n!
Vamos verificar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.

Passo 2

Para checar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos
sumn=1^+infty gl|(-1)^n,sin(n)n!gr| = sumn=1^+infty |sin(n)|n!
Como |sin(n)|<= 1 para todo n, temos
|sin(n)|n! <= 1n!

Passo 3

Sabemos que
sumn=1^+infty 1n!
é convergente (é a expansão de e-1). Pelo critério da comparação, a série
sumn=1^+infty |sin(n)|n!
também converge. Logo a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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