Considere a curva descrita pela equação vetorial r(t)=t imath+3 cos t jmath+3 sen t k.
Encontre o vetor tangente unitário no ponto ( pi,-3,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com cálculo vetorial, especificamente encontrando o vetor tangente unitário de uma curva descrita por uma equação vetorial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar a magnitude desse vetor derivado e, por fim, normalizar o vetor para torná-lo unitário.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o valor de $ t $ que corresponde ao ponto dado t . A equação vetorial é:
(pi, -3, 0)
Igualando cada componente ao ponto fornecido:
r(t) = t, imath + 3 cos t, jmath + 3 sin t, k
Resolvendo, vemos que $ t = \pi $ satisfaz todas as equações.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função vetorial r(t), que nos dá o vetor velocidade:
r,'(t) = ddt ( t, imath + 3 cos t, jmath + 3 sin t, k )
Derivando cada componente:
r,'(t) = 1, imath - 3 sin t, jmath + 3 cos t, k

Passo 4

Vamos avaliar r,'(t) no valor de $ t = \pi $:
t = pi
Sabendo que r,'(pi) = 1, imath - 3 sin pi, jmath + 3 cos pi, k e sin pi = 0:
cos pi = -1

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude do vetor r,'(pi). A magnitude de um vetor $ \mathbf{v} = a, \hat{\imath} + b, \hat{\jmath} + c, \hat{k} $ é dada por:
v = a, imath + b, jmath + c, k
Aplicando isso ao nosso vetor:
||v|| = raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 6

Finalmente, para encontrar o vetor tangente unitário, vamos dividir o vetor r,'(pi) pela sua magnitude:
T = r,'(pi)||r,'(pi)|| = imath - 3, kraiz10 = 1raiz10, imath - 3raiz10, k

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto (pi, -3, 0) é:
T = 1raiz10, imath - 3raiz10, k

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