Considere a curva descrita pela equação vetorial
.
Encontre o vetor tangente unitário no ponto (
).
Encontre o vetor tangente unitário no ponto (
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com cálculo vetorial, especificamente encontrando o vetor tangente unitário de uma curva descrita por uma equação vetorial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar a magnitude desse vetor derivado e, por fim, normalizar o vetor para torná-lo unitário.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o valor de $ t $ que corresponde ao ponto dado
. A equação vetorial é:
Igualando cada componente ao ponto fornecido:
Resolvendo, vemos que $ t = \pi $ satisfaz todas as equações.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função vetorial
, que nos dá o vetor velocidade:
Derivando cada componente:
Passo 4
Vamos avaliar
no valor de $ t = \pi $:
Sabendo que
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude do vetor
. A magnitude de um vetor $ \mathbf{v} = a, \hat{\imath} + b, \hat{\jmath} + c, \hat{k} $ é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Passo 6
Finalmente, para encontrar o vetor tangente unitário, vamos dividir o vetor
pela sua magnitude:
Resposta
O vetor tangente unitário no ponto
é: