Considere a curva de equação
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Qual o comprimento dessa curva quando x varia de 0 até 1 ?
(A)
(B)
©
(D)
(E) 2
Qual o comprimento dessa curva quando x varia de 0 até 1 ?
(A)
(B)
©
(D)
(E) 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a equação de uma curva: $ y = \frac{1}{3}\left(x{2}+2\right){\frac{3}{2}} $. Nosso objetivo é encontrar o comprimento dessa curva quando $ x $ varia de 0 até 1. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a determinar o tamanho de uma curva entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva dada por $ y = f(x) $ entre $ x = a $ e $ x = b $:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e depois integrar esse resultado de $ x = 0 $ a $ x = 1 $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Perceba que $ x^4 + 2x^2 + 1 $ é um trinômio quadrado perfeito:
Portanto:
Passo 6
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Calculando cada parte:
Assim:
Resposta
O comprimento da curva quando $ x $ varia de 0 até 1 é $ \frac{4}{3} $. A opção correta é a © $ \frac{4}{3} $.