Considere a curva de equação y=13(x^2+2)^32.
Qual o comprimento dessa curva quando x varia de 0 até 1 ?
(A) 16
(B) 23
© 43
(D) 53
(E) 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a equação de uma curva: $ y = \frac{1}{3}\left(x{2}+2\right){\frac{3}{2}} $. Nosso objetivo é encontrar o comprimento dessa curva quando $ x $ varia de 0 até 1. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a determinar o tamanho de uma curva entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva dada por $ y = f(x) $ entre $ x = a $ e $ x = b $:
y = f(x)
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e depois integrar esse resultado de $ x = 0 $ a $ x = 1 $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
y
Usando a regra da cadeia, temos:
x

Passo 4

Agora, vamos substituir $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula do comprimento de arco:
dydx
Simplificando dentro da raiz:
L = integral0^1 raiz1 + (x(x^2+2)^12)^2 , dx
Então:
(x(x^2+2)^12)^2 = x^2(x^2+2)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
1 + x^2(x^2+2) = 1 + x^4 + 2x^2 = x^4 + 2x^2 + 1
Perceba que $ x^4 + 2x^2 + 1 $ é um trinômio quadrado perfeito:
x^4 + 2x^2 + 1
Portanto:
x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2

Passo 6

Agora, a integral ficou bem mais simples:
L = integral0^1 (x^2 + 1) , dx = integral0^1 x^2 , dx + integral0^1 1 , dx
Calculando cada parte:
integral x^2 , dx = x^33 integral 1 , dx = x
Assim:
L = [x^33 + x ]0^1 = (1^33 + 1) - (0^33 + 0) = 13 + 1 = 43

Resposta

O comprimento da curva quando $ x $ varia de 0 até 1 é $ \frac{4}{3} $. A opção correta é a © $ \frac{4}{3} $.

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