Derive.
(w) f(t)=[cotgh(t+1)^2]^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(t)=l[coth^2(t+1)r]^1/2. O conteúdo aqui é regra da cadeia aplicada duas vezes (uma para a raiz e outra para o quadrado) e precisamos também da derivada .

Passo 2

Vamos chamar g(t)=coth^2(t+1) de modo que f(t)=[g(t)]^1/2. Aplicando a regra da cadeia para f=[g]^1/2:
f'(t)=tfrac12,[g(t)]^-1/2,g'(t)

Passo 3

Agora derivamos g(t)=l(coth(t+1)r)^2. De novo, regra da cadeia: se h(u)=u^2 e u(t)=coth(t+1), então

Passo 4

Substituindo em f'(t)=tfrac12[g(t)]^-1/2g'(t) e lembrando que g(t)=coth^2(t+1), obtemos:
Simplificando o f'(t)=12l[coth^2(t+1)r]^-1/2l[-2,coth(t+1),csch^2(t+1)r] e juntando termos:

Passo 5

Observe que raizcoth^2(t+1)=|coth(t+1)|. Em muitas aplicações, toma-se t+1>0 (logo coth(t+1)>0), o que reduz a derivada a:

Resposta

f’(t)=-\dfrac{\coth(t+1),\csch2(t+1)}{\sqrt{\coth2(t+1)}}\quad(e, se t>-1,f’(t)=-\csch^2(t+1)).

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