Encontre os intervalos nos quais f é crescente e decrescente. Classifique os números críticos. O gráfico de f possui algum ponto de inflexão?
11) f(x)=e^x1+e^x

Passo 1

O enunciado pede pra achar onde a função é crescente/decrescente, classificar os pontos críticos e verificar se há ponto de inflexão. O conteúdo envolvido é derivação para monotonicidade, definição de número crítico (onde f' é zero ou não existe) e teste de concavidade via segunda derivada para inflexão.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para estudar monotonicidade. Começando de
f(x)=e^x1+e^x,
aplicamos quociente: o numerador da derivada é
e^x(1+e^x)-e^xcdot e^x=e^xl((1+e^x)-e^xr)=e^x,
e o denominador é (1+e^x)^2. Logo,
f'(x)=e^x(1+e^x)^2
Como e^x>0 e (1+e^x)^2>0 para todo x, temos f'(x)>0 em (-infty,infty). Assim, f é estritamente crescente em todo o domínio.

Passo 3

Os pontos críticos são aqueles onde f'(x)=0 ou f' não existe. Vimos que f'(x) nunca é zero nem indefinida. Logo, não há números críticos.

Passo 4

Para ver inflexão, calculamos a segunda derivada. Derivando f'(x)=e^x(1+e^x)^-2 por produto e cadeia, obtemos
f''(x)=e^x(1-e^x)(1+e^x)^3
O sinal de f''(x) troca em e^x=1, ou seja em x=0. Para x<0 temos e^x<1 e f''(x)>0 (concavidade pra cima); para x>0 temos e^x>1 e f''(x)<0 (concavidade pra baixo). A troca de concavidade em x=0 indica ponto de inflexão.

Passo 5

Resumo dos resultados: crescente em (-infty,infty), não há intervalos de decrescimento, não há pontos críticos e há um ponto de inflexão em x=0 (com f(0)=1/2).

Resposta

f é crescente em (-∞,∞); não há decrescimento; não existem pontos críticos; há ponto de inflexão em x=0, onde f(0)=1/2.

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