Encontre os intervalos nos quais
é crescente e decrescente. Classifique os números críticos. O gráfico de
possui algum ponto de inflexão?
11)
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Passo 1
O enunciado pede pra achar onde a função é crescente/decrescente, classificar os pontos críticos e verificar se há ponto de inflexão. O conteúdo envolvido é derivação para monotonicidade, definição de número crítico (onde
é zero ou não existe) e teste de concavidade via segunda derivada para inflexão.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para estudar monotonicidade. Começando de
aplicamos quociente: o numerador da derivada é
e o denominador é
. Logo,
Como
e
para todo
, temos
em
. Assim,
é estritamente crescente em todo o domínio.
Passo 3
Os pontos críticos são aqueles onde
ou
não existe. Vimos que
nunca é zero nem indefinida. Logo, não há números críticos.
Passo 4
Para ver inflexão, calculamos a segunda derivada. Derivando
por produto e cadeia, obtemos
O sinal de
troca em
, ou seja em
. Para
temos
e
(concavidade pra cima); para
temos
e
(concavidade pra baixo). A troca de concavidade em
indica ponto de inflexão.
Passo 5
Resumo dos resultados: crescente em
, não há intervalos de decrescimento, não há pontos críticos e há um ponto de inflexão em
(com
).
Resposta
f é crescente em (-∞,∞); não há decrescimento; não existem pontos críticos; há ponto de inflexão em x=0, onde f(0)=1/2.