Nos Exercs. 1 a 10, calcule a integral de f ao longo do contorno C, onde f e C são especificados em cada caso.
f(z)=raizz, C=z=r e^i theta ;-pi <= theta <= pi.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha integralC raizz,dz, onde raizz é a raiz principal e o contorno C é o círculo de raio r parametrizado por z=r e^itheta com -pi<=theta<=pi. Vamos usar teoria de função complexa, definição de ramo principal de raizz e parametrização de curvas.

Passo 2

Para resolver, parametrizamos o contorno. Tomamos z(theta)=r e^itheta e portanto
dz = ddtheta(r e^itheta),dtheta = i r e^itheta,dtheta
Na mesma parametrização, a raiz principal de z é
raizz(theta) = raizr,e^itheta/2,onde usamos no intervalo Arg(z)=theta.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integralC raizz,dz = integral-pi^pi l(raizr,e^itheta/2r) l(i r e^ithetar) dtheta = i r^3/2 integral-pi^pi e^i(theta/2+theta) dtheta
Repare que theta/2+theta = 3theta/2. Assim
integral-pi^pi e^i(3theta/2) dtheta = [ 23i e^i(3theta/2) ]-pi^pi = 23il(e^i3pi/2-e^-i3pi/2r)

Passo 4

Calculamos as exponenciais: e^i3pi/2=-i e e^-i3pi/2=i. Logo
e^i3pi/2-e^-i3pi/2 = -i - i = -2i
Portanto
integral-pi^pi e^i(3theta/2) dtheta = 23i(-2i) = -43

Passo 5

Multiplicando pelo fator externo, obtemos
integralC raizz,dz = i r^3/2 (-43) = -4i3,r^3/2

Resposta

-tfrac4i3,r^3/2

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