Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas 
  e 
Determine onde sua concavidade é para cima ou para baixo.
Determine onde sua concavidade é para cima ou para baixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma curva definida por equações paramétricas onde 
  e 
 . O conteúdo envolvido aqui é a concavidade de curvas paramétricas, que nos ajuda a determinar se a curva está curvando para cima ou para baixo em diferentes partes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da curva em relação a 
 .
Passo 2
Para encontrar a concavidade, primeiro vamos calcular a primeira derivada 
 . Em curvas paramétricas, isso é feito dividindo 
  por 
 .
Dado que:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada 
 . Para isso, derivamos 
  em relação a 
  e dividimos por 
 .
Primeiro, derivamos 
  em relação a 
 :
Então:
Passo 4
Agora, analisamos o sinal de 
  para determinar a concavidade:
- Se 
, a curva é côncava para cima.  - Se 
, a curva é côncava para baixo.  
Considerando a expressão 
 :
- Quando 
, , então a concavidade é para cima.  - Quando 
, , então a concavidade é para baixo.  - Quando 
, a segunda derivada não está definida.  
Resposta
A curva é côncava para cima quando 
  e côncava para baixo quando 
 .