Considere a curva no espaço C9 parametrizada por varphi(t)=(1+t, e^t, t^2);
t in[0,1] e o campo vetorial F(x, y, z)=(y, z, e^x-1)x
Calcule integralC9 F cdot d r

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no espaço, chamada , que é parametrizada por para entre 0 e 1. Além disso, temos um campo vetorial . Nosso objetivo é calcular a integral de linha . Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de curvas e a definição de integral de linha para campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o vetor diferencial dvarphidt = ( ddt(1 + t), ddt(e^t), ddt(t^2) ) = (1, e^t, 2t) em termos de . A parametrização da curva é . Então, derivamos cada componente em relação a :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos expressar o campo vetorial F(varphi(t)) = (y, z, e^x-1)x = (e^t, t^2, e^(1 + t) - 1)1 + t = (e^t, t^2, e^t)1 + t ao longo da curva . Substituímos as coordenadas da curva na função :
Então, .

Passo 4

A integral de linha integral0^1 F(varphi(t)) cdot dvarphidt , dt = integral0^1 ( e^t1 + t, t^21 + t, e^t1 + t ) cdot (1, e^t, 2t) , dt se torna:
( e^t1 + t times 1 ) + ( t^21 + t times e^t ) + ( e^t1 + t times 2t ) = e^t1 + t + t^2 e^t1 + t + 2t e^t1 + t
Calculando o produto escalar:
e^t + t^2 e^t + 2t e^t1 + t = e^t(1 + t^2 + 2t)1 + t = e^t(1 + t)^21 + t = e^t(1 + t)
Simplificando:

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral0^1 e^t(1 + t) , dt
Vamos resolver essa integral usando a regra do produto:
integral e^t (1 + t) , dt = e^t (1 + t) - integral e^t , dt = e^t (1 + t) - e^t + C = e^t t + C
Então, avaliando de 0 a 1:
e^t t |0^1 = e^1 times 1 - e^0 times 0 = e - 0 = e

Resposta

A integral de linha vale .

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