Considere a curva no espaço parametrizada por ; e o campo vetorial
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no espaço, chamada , que é parametrizada por para entre 0 e 1. Além disso, temos um campo vetorial . Nosso objetivo é calcular a integral de linha . Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de curvas e a definição de integral de linha para campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar o vetor diferencial em termos de . A parametrização da curva é . Então, derivamos cada componente em relação a :
Então, .
Passo 3
Agora, vamos expressar o campo vetorial ao longo da curva . Substituímos as coordenadas da curva na função :
Então, .
Passo 4
A integral de linha se torna:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Vamos resolver essa integral usando a regra do produto: