Considere a hipérbole C8 parametrizada por varphi(t)=(sec (t), tan (t)) ; t in[-pi4, pi4] e o campo vetorial F(x, y)=(-x y, x^2)
Calcule integralC8 F cdot d r

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de linha , onde é uma hipérbole parametrizada por para entre e . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha no campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como calcular o produto escalar do campo vetorial com a derivada da parametrização.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da parametrização varphi(t) = (sec(t), tan(t)) em relação a varphi'(t) = (sec(t) tan(t), sec^2(t)) . Isso porque, na integral de linha, usamos . Vamos derivar cada componente de :
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização F(varphi(t)) = (-sec(t) cdot tan(t), sec^2(t)) no campo vetorial . Como , ao substituir , temos:

Passo 4

Com F(varphi(t)) cdot varphi'(t) = [-sec(t) tan(t)] cdot [sec(t) tan(t)] + [sec^2(t)] cdot [sec^2(t)] e = -sec^2(t) tan^2(t) + sec^4(t) encontrados, agora calculamos o produto escalar :
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão obtida. Sabemos que -sec^2(t) tan^2(t) + sec^4(t) = -tan^2(t)(1 + tan^2(t)) + (1 + tan^2(t))^2 , então podemos reescrever:
= -tan^2(t) - tan^4(t) + 1 + 2tan^2(t) + tan^4(t)
Expandindo:
= 1 + tan^2(t)
Cancelando termos semelhantes:
F(varphi(t)) cdot varphi'(t) = sec^2(t)
E sabemos que , então:

Passo 6

Agora, a integral de linha fica:
integralC8 F cdot d r = integral-pi4^pi4 sec^2(t) dt
A integral de integral sec^2(t) dt = tan(t) + C é , então:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
integral-pi4^pi4 sec^2(t) dt = tan(pi4) - tan(-pi4)
Sabemos que 1 - (-1) = 2 e , então:

Resposta

O valor da integral é igual a .

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