Considere a hipérbole
parametrizada por
e o campo vetorial
Calcule
Calcule
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral de linha
, onde
é uma hipérbole parametrizada por
para
entre
e
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha no campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como calcular o produto escalar do campo vetorial com a derivada da parametrização.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da parametrização
em relação a
. Isso porque, na integral de linha, usamos
. Vamos derivar cada componente de
:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização
no campo vetorial
. Como
, ao substituir
, temos:
Passo 4
Com
e
encontrados, agora calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão obtida. Sabemos que
, então podemos reescrever:
Expandindo:
Cancelando termos semelhantes:
E sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, a integral de linha fica:
A integral de
é
, então:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor da integral
é igual a
.