Demonstre que:
Se f é ímpar e as integrais necessárias existem, então:
integral-infty^infty f(x) d x=0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos demonstrar que, se integral-infty^infty f(x) , dx = 0 é uma função ímpar e as integrais necessárias existem, então:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com propriedades de funções ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função f(-x) = -f(x) é dita ímpar se, para todo no domínio de , vale:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos considerar a integral definida de integral-a^a f(x) , dx de a :
Como é uma função ímpar, podemos usar a propriedade das funções ímpares nas integrais. A propriedade diz que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero.

Passo 4

Vamos aplicar essa propriedade. Substituindo integral-a^a f(x) , dx = 0 por na integral:
Isso ocorre porque as áreas positivas e negativas se cancelam devido à simetria da função ímpar.

Passo 5

Finalmente, para o caso em que integral-infty^infty f(x) , dx = lima to infty integral-a^a f(x) , dx = lima to infty 0 = 0 tende ao infinito, temos:
Portanto, a integral de uma função ímpar de a é igual a zero.

Resposta

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