Demonstre que:
Se f é ímpar e as integrais necessárias existem, então:
Se f é ímpar e as integrais necessárias existem, então:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos demonstrar que, se
é uma função ímpar e as integrais necessárias existem, então:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com propriedades de funções ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função
é dita ímpar se, para todo
no domínio de
, vale:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos considerar a integral definida de
de
a
:
Como
é uma função ímpar, podemos usar a propriedade das funções ímpares nas integrais. A propriedade diz que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade. Substituindo
por
na integral:
Isso ocorre porque as áreas positivas e negativas se cancelam devido à simetria da função ímpar.
Passo 5
Finalmente, para o caso em que
tende ao infinito, temos:
Portanto, a integral de uma função ímpar de
a
é igual a zero.