Considere a curva
, definida para
.
© Ache a área da superfície gerada pela rotaçāo da curva
, em torno do eixo
. O que acontece quando
?
© Ache a área da superfície gerada pela rotaçāo da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a área da superfície gerada quando a curva $ y = e^{-x} $, definida para $ x \geq 0 $, é girada em torno do eixo $ x $ no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = a $. Depois, vamos ver o que acontece com essa área quando $ a $ tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos usar o cálculo de superfícies de revolução, especificamente a fórmula para a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo $ x $. Precisaremos também calcular derivadas e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo $ x $:
Aqui:
- $ S $ é a área da superfície.
- $ y = f(x) $ é a função que está sendo girada.
- $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração.
No nosso caso, $ y = e^{-x} $, $ a = 0 $ e $ b = a $ (no enunciado, $ a $ é um valor finito, mas depois vamos considerar $ a \to \infty $).
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
Agora, vamos substituir $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula da área da superfície:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ será:
Resolvendo para $ dx $:
No entanto, essa substituição não simplifica muito a integral. Então, vamos abordar a integral diretamente.
Passo 5
Observando a integral:
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Mas, ainda assim, não temos uma antiderivada elementar para essa expressão. Portanto, para resolver essa integral, podemos reconhecer que ela está relacionada a funções hiperbólicas ou precisaríamos usar métodos numéricos. Contudo, para fins didáticos, vamos avaliar numericamente ou reconhecer que a integral não possui uma forma fechada simples.
Passo 6
Vamos considerar a integral definida:
Para analisar o que acontece quando $ a \to \infty $, observamos que $ e^{-x} $ tende a zero à medida que $ x $ aumenta. Portanto, o termo $ \sqrt{1 + e^{-2x}} $ tende a 1. Assim, para grandes valores de $ x $:
Essa integral é fácil de resolver:
Quando $ a \to \infty $, $ e^{-a} \to 0 $, então:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação da curva $ y = e^{-x} $ em torno do eixo $ x $ no intervalo de $ 0 $ a $ a $ é aproximadamente $ 2\pi (1 - e^{-a}) $. Quando $ a $ tende ao infinito, a área da superfície $ S $ se aproxima de $ 2\pi $.