(3,0) Considere a curva f(x)=e^-x, definida para x >= 0.
(b) Calcule o volume do sólido quando a regiāo limitada pela curva y=f(x), x=0 e x=a, gira em torno do eixo y. O que acontece quando a infty ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pela curva $ y = f(x) = e^{-x} $, a reta $ x = 0 $ e $ x = a $ gira em torno do eixo $ y $. Essa é uma questão de Cálculo, mais especificamente de volumes de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é bem útil quando a rotação é em torno do eixo $ y $ e estamos integrando em relação a $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. Temos a curva exponencial decrescente $ y = e^{-x} $ começando em $ x = 0 $ (onde $ y = 1 $) e indo até $ x = a $. Ao girar essa região em torno do eixo $ y $, cada pequeno pedaço vertical da curva vai formar um cilindro.

Passo 3

O próximo passo é aplicar o método dos cilindros. A fórmula para o volume usando esse método é:
V = 2pi integralx=0^x=a x cdot f(x) , dx
Aqui, $ 2\pi x $ é a circunferência de cada cilindro, $ f(x) = e^{-x} $ é a altura do cilindro, e $ dx $ é a espessura infinitesimal.

Passo 4

Agora, vamos substituir $ f(x) $ na fórmula:
f(x)
Esse é um integral que vamos resolver por partes, já que envolve o produto de $ x $ e $ e^{-x} $.

Passo 5

Para resolver a integral por partes, usamos a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • $ u = x $ então $ du = dx $
  • $ dv = e^{-x} , dx $ então $ v = -e^{-x} $

Passo 6

Aplicando a fórmula:
integral x cdot e^-x , dx = -x cdot e^-x + integral e^-x , dx = -x cdot e^-x - e^-x + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a $ a $:
a
Simplificando:
V = 2pi [ ( -a cdot e^-a - e^-a ) - ( -0 cdot e^0 - e^0 ) ]
V = 2pi ( -a cdot e^-a - e^-a + 1 )

Passo 8

Agora, queremos saber o que acontece quando $ a $ tende ao infinito ($ a \rightarrow \infty $). Vamos analisar o limite:
a
Sabemos que $ e^{-a} $ tende a 0 muito mais rápido que $ (a + 1) $ tende ao infinito. Portanto:
a infty
Assim:
lima to infty V = 2pi ( 1 - lima to infty e^-a(a + 1) )

Resposta

O volume do sólido quando $ a \rightarrow \infty $ é $ 2\pi $ unidades cúbicas.

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