Considere a curva
, definida para
.
(b) Calcule o volume do sólido quando a regiāo limitada pela curva
e
, gira em torno do eixo
. O que acontece quando
?
(b) Calcule o volume do sólido quando a regiāo limitada pela curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pela curva $ y = f(x) = e^{-x} $, a reta $ x = 0 $ e $ x = a $ gira em torno do eixo $ y $. Essa é uma questão de Cálculo, mais especificamente de volumes de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é bem útil quando a rotação é em torno do eixo $ y $ e estamos integrando em relação a $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. Temos a curva exponencial decrescente $ y = e^{-x} $ começando em $ x = 0 $ (onde $ y = 1 $) e indo até $ x = a $. Ao girar essa região em torno do eixo $ y $, cada pequeno pedaço vertical da curva vai formar um cilindro.
Passo 3
O próximo passo é aplicar o método dos cilindros. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, $ 2\pi x $ é a circunferência de cada cilindro, $ f(x) = e^{-x} $ é a altura do cilindro, e $ dx $ é a espessura infinitesimal.
Passo 4
Agora, vamos substituir $ f(x) $ na fórmula:
Esse é um integral que vamos resolver por partes, já que envolve o produto de $ x $ e $ e^{-x} $.
Passo 5
Para resolver a integral por partes, usamos a fórmula:
Vamos escolher:
- $ u = x $ então $ du = dx $
- $ dv = e^{-x} , dx $ então $ v = -e^{-x} $
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a $ a $:
Simplificando:
Passo 8
Agora, queremos saber o que acontece quando $ a $ tende ao infinito ($ a \rightarrow \infty $). Vamos analisar o limite:
Sabemos que $ e^{-a} $ tende a 0 muito mais rápido que $ (a + 1) $ tende ao infinito. Portanto:
Assim:
Resposta
O volume do sólido quando $ a \rightarrow \infty $ é $ 2\pi $ unidades cúbicas.