Considere a curva
, definida para
.
(a) Calcule o volume do sólido quando a regiāo limitada pela curva
e
, gira em torno do eixo
. O que acontece quando
?
(a) Calcule o volume do sólido quando a regiāo limitada pela curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = e^{-x} $ definida para $ x \geq 0 $. A missão é calcular o volume do sólido que forma quando a região delimitada por essa curva, pela reta $ x=0 $ e pela reta $ x=a $ gira em torno do eixo $ x $. A gente vai usar o método de discos para resolver isso, que é parte do cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de discos. Quando a gente gira uma curva em torno do eixo $ x $, cada fatia perpendicular ao eixo $ x $ se torna um disco. O volume de cada disco é $ \pi \times (raio)^2 \times espessura $.
No nosso caso, o raio de cada disco é simplesmente $ f(x) = e^{-x} $ e a espessura é um pequeno pedaço $ dx $. Então, o volume total $ V $ é a integral desses volumes de disco de $ x=0 $ até $ x=a $:
Passo 3
Vamos simplificar a integral:
A integral de $ e^{-2x} $ é $ -\frac{1}{2} e^{-2x} $. Então:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece quando $ a $ tende ao infinito ($ a \rightarrow \infty $). O termo $ e^{-2a} $ vai se aproximar de zero, já que exponencial negativa com $ a $ grande diminui muito rápido. Então:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{\pi}{2} $ unidades cúbicas quando $ a $ tende ao infinito.