(a) x ux x+ut=0. Res: x X^prime prime-lambda X=0 e T^prime+lambda T=0.
(b) t ux x+x ut=0. Res: X^prime prime-lambda x X=0 e T^prime+lambda t T=0.
© [p(x) ux]x-r(x) ut t=0. Res: (p(x) X^prime)^prime+lambda r(x) X=0 e T^prime prime+lambda T=0.
(d) ux x+(x+y) uy y=0. Res: Não é separável.
(e) ux x+uy y+x u=0. Res: X^prime prime+(lambda+x) X=0 e Y^prime prime-lambda Y=0.

Passo 1

Neste exercício vamos analisar cinco equações e verificar a separabilidade por variáveis. O conteúdo aqui é separação de variáveis, onde assumimos soluções do tipo u(x,t)=X(x)T(t) ou u(x,y)=X(x)Y(y), substituímos na equação original, dividimos por u e introduzimos uma constante de separação lambda para obter as EDOs em X e T (ou Y).

Passo 2

Para o item (a), fazemos u(x,t)=X(x)T(t). Substituindo em x,uxx+ut=0 e dividindo por X T obtemos
x X''(x)X(x) + T'(t)T(t) = 0
Introduzindo a constante de separação lambda via
x X''X = lambda, T'T = -lambda,
chegamos às EDOs
x X'' - lambda X = 0, T' + lambda T = 0

Passo 3

Para o item (b), tomamos u(x,t)=X(x)T(t). Em t,uxx+x,ut=0, substituindo e dividindo por X T vem
t X''(x)X(x) + x T'(t)T(t) = 0
Dividindo por xt e separando as variáveis, definimos
X''xX = lambda, T'tT = -lambda,
levando a
X'' - lambda x X = 0, T' + lambda t T = 0

Passo 4

No item ©, usamos u(x,t)=X(x)T(t) em
[p(x)ux]x - r(x)utt = 0.
Substituindo dá
T(t),(p(x)X'(x))' - r(x)X(x)T''(t) = 0,
dividindo por r(x)X(x)T(t) e separando, definimos
(pX')'rX = -lambda, T''T = lambda,
resultando em
(p(x)X')' + lambda r(x)X = 0, T'' + lambda T = 0

Passo 5

Para o item (d), tentamos u(x,y)=X(x)Y(y) em uxx+(x+y)uyy=0, o que leva a
X''(x)Y(y) + (x+y)X(x)Y''(y) = 0
ou
X''X + (x+y)Y''Y = 0,
onde não é possível isolar um termo que dependa só de x e outro só de y. Logo não é separável.

Passo 6

No item (e), usamos u(x,y)=X(x)Y(y) em uxx+uyy+x u=0. Substituindo e dividindo por XY obtém-se
X''X + Y''Y + x = 0
Agrupamos como
X'' + xXX = -Y''Y = lambda,
o que gera
X'' + (x+lambda)X = 0, Y'' - lambda Y = 0

Resposta

(a) x X'' - lambda X = 0 e T' + lambda T = 0.
(b) X'' - lambda x X = 0 e T' + lambda t T = 0.
© (p(x)X')' + lambda r(x)X = 0 e T'' + lambda T = 0.
(d) não é separável.
(e) X'' + (x+lambda)X = 0 e Y'' - lambda Y = 0.

Exercícios relacionados