Use a fatoração para obter as raízes dos polinômios a seguir.
f(x)=x^4-3 x^3+2 x^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar as raízes do polinômio f(x)=x^4-3x^3+2x^2 usando fatoração. Aqui vamos precisar usar a ideia de fator comum, fatoração de trinômio quadrático e o teorema do fator, que diz que se (x-a) é fator então a é raiz.

Passo 2

Observando f(x)=x^4-3x^3+2x^2, todos os termos têm um fator comum x^2. Fatorando esse termo, escrevemos:
f(x)=x^2l(x^2-3x+2r)

Passo 3

Agora focamos em fatorar o trinômio x^2-3x+2. Precisamos de dois números cuja soma seja 3 e cujo produto seja 2; esses números são 1 e 2. Assim:
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

Passo 4

Substituindo de volta no polinômio, obtemos:
f(x)=x^2,(x-1)(x-2)
Pelo teorema do fator, cada fator (x-a) fornece a raiz x=a. Além disso, o fator x^2 indica que x=0 é raiz de multiplicidade 2.

Resposta

As raízes são x=0 (multiplicidade 2), x=1 e x=2.

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