Considere a curva no espaço euclideano tridimensional com equações paramétricas num sistema de coordenadas cartesiano Oxyz dadas por
Mostre que a curva Gamma está na interseção dos cilindros x^2+y^2=1 e x e^z=1.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva Gamma no espaço 3D com as equações paramétricas:
Gamma:l x=cos (t), y=sen(t), z=ln (sec t), -pi2
O objetivo aqui é mostrar que essa curva está na interseção de dois cilindros:
x^2+y^2=1
x e^z=1
Para resolver isso, vamos verificar se, para qualquer valor de t no intervalo dado, as coordenadas (x, y, z) da curva Gamma satisfazem as equações de ambos os cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os pontos da curva Gamma satisfazem a equação do primeiro cilindro: x^2+y^2=1.
Sabemos que:
x = cos(t) y = sen(t)
Vamos calcular x^2 + y^2:
x^2 + y^2 = cos^2(t) + sen^2(t)
Passo 3
Agora, lembremos de uma identidade trigonométrica básica:
cos^2(t) + sen^2(t) = 1
Portanto:
x^2 + y^2 = 1
Isso mostra que, para qualquer t no intervalo dado, o ponto (x, y, z) está no cilindro x^2 + y^2 = 1.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda equação do cilindro: x e^z = 1.
Sabemos que:
x = cos(t) z = ln(sec t)
Vamos calcular x e^z:
x e^z = cos(t) cdot e^ln(sec t)
Passo 5
Lembrando que e^ln(a) = a para qualquer a > 0, temos:
e^ln(sec t) = sec t
Então:
x e^z = cos(t) cdot sec(t)
Passo 6
Sabendo que sec(t) = 1cos(t), substituímos:
x e^z = cos(t) cdot 1cos(t) = 1
Portanto:
x e^z = 1
Isso mostra que, para qualquer t no intervalo dado, o ponto (x, y, z) também satisfaz a segunda equação do cilindro.
Resposta
Concluímos que todos os pontos da curva Gamma satisfazem simultaneamente as equações x^2+y^2=1 e x e^z=1. Assim, a curva Gamma está na interseção dos dois cilindros mencionados.