Considere a curva C interseção do paraboloide z=10-x^2-y^2 com o cilindro x^2+y^2=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
ointC y e^z-3 d x+x z^2 d y+e^x y z d z
Utilizando o Teorema de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular uma integral de linha sobre uma curva $ C $, que é a interseção entre um paraboloide e um cilindro. O conteúdo envolvido aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema, calcular o rotacional do campo vetorial dado e fazer umas integrações.

Passo 2

Primeiro, o Teorema de Stokes basicamente diz que a integral de linha de um campo vetorial $ \vec{F} $ ao redor de uma curva $ C $ pode ser convertida em uma integral de superfície sobre uma superfície $ S $ que tem $ C $ como sua borda. Ou seja:
F
Isso facilita muito a nossa vida porque às vezes a integral de superfície é mais fácil de calcular que a de linha.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo vetorial $ \vec{F} $. O campo dado é:
F
O rotacional $ \nabla \times \vec{F} $ é dado por:
F = y e^z-3 , i + x z^2 , j + e^x y z , k
Onde $ P = y e^{z-3} $, $ Q = x z^{2} $, e $ R = e^{x y z} $.
Calculando as derivadas parciais:
  • $ \frac{\partial R}{\partial y} = x z e^{x y z} $
  • $ \frac{\partial Q}{\partial z} = 2x z $
  • $ \frac{\partial P}{\partial z} = y e^{z-3} $
  • $ \frac{\partial R}{\partial x} = y z e^{x y z} $
  • $ \frac{\partial Q}{\partial x} = z^{2} $
  • $ \frac{\partial P}{\partial y} = e^{z-3} $
Então, o rotacional fica:
nabla times F

Passo 4

Agora, vamos escolher uma superfície $ S $ com a curva $ C $ como borda. A curva $ C $ é a interseção do paraboloide $ z = 10 - x^2 - y^2 $ com o cilindro $ x^2 + y^2 = 1 $. Substituindo $ x^2 + y^2 = 1 $ na equação do paraboloide, temos $ z = 10 - 1 = 9 $. Então, $ C $ é um círculo no plano $ z = 9 $ com raio 1.
Escolhemos $ S $ como o disco no plano $ z = 9 $ limitado por $ x^2 + y^2 \leq 1 $. A normal $ \vec{n} $ será na direção positiva de $ \vec{k} $, já que a curva é orientada anti-horário visto de cima.

Passo 5

Vamos agora calcular $ (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n} $. Como $ \vec{n} = \vec{k} $, temos:
(nabla times F) cdot n
Substituindo $ z = 9 $:
n = k
Então, a integral de superfície fica:
(nabla times F) cdot n = z^2 - e^z-3

Passo 6

Como $ 81 - e^{6} $ é uma constante, podemos simplificar a integral:
81 - e^6
A área do disco $ S $ com raio 1 é $ \pi (1)^2 = \pi $. Portanto:
(81 - e^6) integral duplaS dS

Resposta

A integral de linha vale $ 81,\pi - \pi, e^{6} $.

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