Seja G o sólido no primeiro octante limitado pela esfera x^2+y^2+ z^2=4 e os planos coordenados, reescreva a integral com os limites corretos
integral triplaG x y z d V
b) usando coordenadas cilíndricas. (2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever uma integral tripla que calcula usando coordenadas cilíndricas. O sólido está no primeiro octante e é limitado por uma esfera e pelos planos coordenados. Para resolver isso, vamos usar a teoria de coordenadas cilíndricas, que facilita integrar sobre sólidos com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume dV = r , dz , dr , dtheta se transforma em:
Essas fórmulas vão nos ajudar a reescrever a integral.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como o sólido está no primeiro octante, os ângulos e as coordenadas estarão dentro dos seguintes intervalos:
theta in [0, pi2], r in [0, 2], z in [0, raiz4 - r^2]
Aqui, vai de 0 até 2 porque a esfera tem raio 2 (já que ) e varia de 0 até a parte superior da esfera para cada .

Passo 4

Vamos substituir integral triplaG x y z , dV = integral triplaG (r cos theta) (r sin theta) z cdot r , dz , dr , dtheta , integral triplaG r^3 cos theta sin theta , z , dz , dr , dtheta e na integral original:
Simplificando, fica:

Passo 5

Agora, juntando tudo, a integral tripla em coordenadas cilíndricas com os limites corretos é:
integral0^pi2 integral0^2 integral0^raiz4 - r^2 r^3 cos theta sin theta , z , dz , dr , dtheta

Resposta

A integral tripla reescrita em coordenadas cilíndricas com os limites corretos é:
integral0^pi2 integral0^2 integral0^raiz4 - r^2 r^3 cos theta sin theta , z , dz , dr , dtheta

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