Seja
o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
e os planos coordenados, reescreva a integral com os limites corretos
b) usando coordenadas cilíndricas. (2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para reescrever uma integral tripla que calcula
usando coordenadas cilíndricas. O sólido
está no primeiro octante e é limitado por uma esfera e pelos planos coordenados. Para resolver isso, vamos usar a teoria de coordenadas cilíndricas, que facilita integrar sobre sólidos com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume
se transforma em:
Essas fórmulas vão nos ajudar a reescrever a integral.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Como o sólido está no primeiro octante, os ângulos e as coordenadas estarão dentro dos seguintes intervalos:
Aqui,
vai de 0 até 2 porque a esfera tem raio 2 (já que
) e
varia de 0 até a parte superior da esfera para cada
.
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na integral original:
Simplificando, fica:
Passo 5
Agora, juntando tudo, a integral tripla em coordenadas cilíndricas com os limites corretos é:
Resposta
A integral tripla reescrita em coordenadas cilíndricas com os limites corretos é: