Seja g(x)=integral sen(x)x d x^22 (por rigor, definimos o integrando como 1 quando x=0 )
Use o Polinômio de Taylor de sen (x) para escrever uma expressão para g(x) (se tiver dificuldades para o termo geral, escreva o Polinômio até a ordem 5.)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar uma expressão em série para
g(x)=\int \frac{\sin(x)}{x},dx
usando o polinômio de Taylor de sin(x).

Passo 2

Primeiro, lembramos a expansão de Taylor de sin(x) em torno de 0:
sin(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Em seguida, dividimos essa série por x para obter o integrando:
sin(x)x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n+1)!

Passo 4

Agora integramos termo a termo (lembre que integral x^2ndx=tfracx^2n+12n+1):
g(x)=integralsin(x)x,dx=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1),(2n+1)!+C

Passo 5

Como definimos g(0)=0, temos C=0. Se quisermos o polinômio até a ordem 5, basta tomar n=0,1,2:
g(x)approx x - x^318 + x^5600

Resposta

g(x)\approx x - \frac{x^3}{18} + \frac{x^5}{600} + \mathcal{O}(x^7)

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