Seja
(por rigor, definimos o integrando como 1 quando
)
Use o Polinômio de Taylor de sen
para escrever uma expressão para
(se tiver dificuldades para o termo geral, escreva o Polinômio até a ordem 5.)
Use o Polinômio de Taylor de sen
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar uma expressão em série para
g(x)=\int \frac{\sin(x)}{x},dx
usando o polinômio de Taylor de
.
Passo 2
Primeiro, lembramos a expansão de Taylor de
em torno de 0:
Passo 3
Em seguida, dividimos essa série por
para obter o integrando:
Passo 4
Agora integramos termo a termo (lembre que
):
Passo 5
Como definimos
, temos
. Se quisermos o polinômio até a ordem 5, basta tomar
:
Resposta
g(x)\approx x - \frac{x^3}{18} + \frac{x^5}{600} + \mathcal{O}(x^7)