Verifique que
e
são duas soluções da equação diferencial
para
. Então, mostre que
também é solução dessa equação quaisquer que sejam
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
A questão nos diz que duas funções, $ y_{1}(t) = t^{2} $ e $ y_{2}(t) = t^{-1} $, são soluções dessa equação para $ t > 0 $. Nosso objetivo é mostrar que qualquer combinação linear dessas duas soluções, ou seja, uma função da forma:
também é uma solução da mesma equação, independentemente dos valores das constantes $ c_{1} $ e $ c_{2} $. Para fazer isso, vamos precisar entender o que são soluções de equações diferenciais e como combinar soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma solução de uma equação diferencial é uma função que, quando substituída na equação, satisfaz a igualdade. Ou seja, se $ y(t) $ é solução da equação $ t^{2} y’’ - 2 y = 0 $, então substituindo $ y(t) $ e suas derivadas na equação, ela deve valer zero.
Vamos verificar isso para uma combinação linear das soluções dadas.
Passo 3
Escrevemos a função geral que queremos testar:
Onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes quaisquer. Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ y(t) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos $ y(t) $ e $ y’’(t) $ na equação diferencial original:
Substituindo:
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 5
Agora, juntamos todos os termos:
Percebemos que os termos se cancelam:
Isso simplifica para:
Resposta
Portanto, mostramos que qualquer combinação linear da forma $ y = c_{1} t^{2} + c_{2} t^{-1} $ satisfaz a equação diferencial $ t^{2} y’’ - 2 y = 0 $ para $ t > 0 $, independentemente dos valores das constantes $ c_{1} $ e $ c_{2} $.