Verifique que y1(t)=t^2 e y2(t)=t^-1 são duas soluções da equação diferencial t^2 y^prime prime- 2 y=0 para t>0. Então, mostre que y=c1 t^2+c2 t^1 também é solução dessa equação quaisquer que sejam c1 e c2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
t^2 y'' - 2 y = 0
A questão nos diz que duas funções, $ y_{1}(t) = t^{2} $ e $ y_{2}(t) = t^{-1} $, são soluções dessa equação para $ t > 0 $. Nosso objetivo é mostrar que qualquer combinação linear dessas duas soluções, ou seja, uma função da forma:
y1(t) = t^2
também é uma solução da mesma equação, independentemente dos valores das constantes $ c_{1} $ e $ c_{2} $. Para fazer isso, vamos precisar entender o que são soluções de equações diferenciais e como combinar soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma solução de uma equação diferencial é uma função que, quando substituída na equação, satisfaz a igualdade. Ou seja, se $ y(t) $ é solução da equação $ t^{2} y’’ - 2 y = 0 $, então substituindo $ y(t) $ e suas derivadas na equação, ela deve valer zero.
Vamos verificar isso para uma combinação linear das soluções dadas.

Passo 3

Escrevemos a função geral que queremos testar:
y(t) = c1 t^2 + c2 t^-1
Onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes quaisquer. Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ y(t) $:
Primeira derivada:
c1
Segunda derivada:
c2

Passo 4

Agora, substituímos $ y(t) $ e $ y’’(t) $ na equação diferencial original:
y(t)
Substituindo:
y''(t)
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
t^2 y'' - 2 y = 0
Segundo termo:
t^2 (2 c1 + 2 c2 t^-3) - 2 (c1 t^2 + c2 t^-1) = 0
Terceiro termo:
t^2 cdot 2 c1 = 2 c1 t^2

Passo 5

Agora, juntamos todos os termos:
2 c1 t^2 + 2 c2 t^-1 - 2 c1 t^2 - 2 c2 t^-1 = 0
Percebemos que os termos se cancelam:
(2 c1 t^2 - 2 c1 t^2) + (2 c2 t^-1 - 2 c2 t^-1) = 0
Isso simplifica para:
0 = 0

Resposta

Portanto, mostramos que qualquer combinação linear da forma $ y = c_{1} t^{2} + c_{2} t^{-1} $ satisfaz a equação diferencial $ t^{2} y’’ - 2 y = 0 $ para $ t > 0 $, independentemente dos valores das constantes $ c_{1} $ e $ c_{2} $.

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