Considere a superfície
formada pelos pontos
, satisfazendo a equação
.
(a) Escreva a equação do plano tangente a
num ponto
.
(b) Encontre todos os pontos
de
nos quais o plano tangente a
em
contenha a origem.
(a) Escreva a equação do plano tangente a
(b) Encontre todos os pontos
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Escrever a equação do plano tangente à superfície
no ponto . - (b) Encontrar todos os pontos
tais que o plano tangente em contenha a origem .
Informações dadas (tudo que podemos usar):
O ponto
pertence a
, portanto satisfaz
Passo 2
Vamos lembrar (com calma) a fórmula que usamos para planos tangentes a superfícies definidas implicitamente. Se uma superfície é dada por
e
, então o plano tangente em
é
Aqui
é o vetor gradiente cujas componentes são as derivadas parciais de
. Intuição curta:
é normal ao plano tangente em
, então o produto escalar com qualquer vetor do plano (como
) deve ser zero. Isso é uma fórmula padrão que cai muito bem em provas.
Passo 3
Vamos aplicar isso com
Calculamos as derivadas parciais (mostrando cada termo):
Avaliar em
quer dizer substituir
. Assim
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do plano tangente:
Isso responde a parte (a). (Se quiseres, dá para expandir, mas na prova normalmente essa forma é a mais limpa.)
Passo 5
Passamos para (b). Condição “o plano tangente em
contém a origem” significa que o ponto
satisfaz a equação do plano. Então substituímos
na equação do plano e exigimos que dê zero. Fazendo isso obtemos:
Simplificando o sinal:
Multiplicando por
:
Passo 6
Agora simplificamos essa soma agrupando termos. Observe os produtos:
Isto é:
Factorizamos
:
Passo 7
Temos portanto duas possibilidades: (i)
ou (ii)
.
-
Se
, então como temos que vira , ou seja . Isso é impossível. Portanto . -
Logo a única possibilidade é
Passo 8
Usamos também a condição de que
:
Comparando com
, podemos igualar as duas expressões para
:
Isso dá
Mas não podemos ter
porque então
contradiz
. Portanto deve ser
ou seja
Passo 9
Com
a condição do ponto em
fornece
ou seja
Conclusão: todos os pontos
cujo plano tangente contém a origem são exatamente os pontos com
e
. Não há outros (já descartámos
e
por contradição).
Resposta
(a)
(b) Todos os pontos com
e
.
(b) Todos os pontos