Considere a superfície S formada pelos pontos (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, satisfazendo a equação x y z=e^{x}.
(a) Escreva a equação do plano tangente a S num ponto P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in S.
(b) Encontre todos os pontos P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) de S nos quais o plano tangente a S em P_{0} contenha a origem.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Escrever a equação do plano tangente à superfície S no ponto P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})\in S.
  • (b) Encontrar todos os pontos P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})\in S tais que o plano tangente em P_{0} contenha a origem (0,0,0).
Informações dadas (tudo que podemos usar):
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid xyz = e^{x}\}.
O ponto P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) pertence a S, portanto satisfaz
x_{0}y_{0}z_{0}=e^{x_{0}}.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) a fórmula que usamos para planos tangentes a superfícies definidas implicitamente. Se uma superfície é dada por
F(x,y,z)=0,
e \nabla F(P_{0})\neq(0,0,0), então o plano tangente em P_{0} é
\nabla F(P_{0})\cdot\big((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})\big)=0.
Aqui \nabla F=(F_x,F_y,F_z) é o vetor gradiente cujas componentes são as derivadas parciais de F. Intuição curta: \nabla F(P_{0}) é normal ao plano tangente em P_{0}, então o produto escalar com qualquer vetor do plano (como (x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})) deve ser zero. Isso é uma fórmula padrão que cai muito bem em provas.

Passo 3

Vamos aplicar isso com
F(x,y,z)=xyz-e^{x}.
Calculamos as derivadas parciais (mostrando cada termo):
F_x=\frac{\partial}{\partial x}(xyz-e^{x})=yz-e^{x},
F_y=\frac{\partial}{\partial y}(xyz-e^{x})=xz,
F_z=\frac{\partial}{\partial z}(xyz-e^{x})=xy.
Avaliar em P_{0} quer dizer substituir x=x_{0},y=y_{0},z=z_{0}. Assim \nabla F(P_{0})=(y_{0}z_{0}-e^{x_{0}},\;x_{0}z_{0},\;x_{0}y_{0}).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do plano tangente:
(y_{0}z_{0}-e^{x_{0}})(x-x_{0}) + (x_{0}z_{0})(y-y_{0}) + (x_{0}y_{0})(z-z_{0}) = 0.
Isso responde a parte (a). (Se quiseres, dá para expandir, mas na prova normalmente essa forma é a mais limpa.)

Passo 5

Passamos para (b). Condição “o plano tangente em P_{0} contém a origem” significa que o ponto (0,0,0) satisfaz a equação do plano. Então substituímos (x,y,z)=(0,0,0) na equação do plano e exigimos que dê zero. Fazendo isso obtemos:
(y_{0}z_{0}-e^{x_{0}})(0-x_{0}) + (x_{0}z_{0})(0-y_{0}) + (x_{0}y_{0})(0-z_{0}) = 0.
Simplificando o sinal:
- x_{0}(y_{0}z_{0}-e^{x_{0}}) - y_{0}(x_{0}z_{0}) - z_{0}(x_{0}y_{0}) = 0.
Multiplicando por -1:
x_{0}(y_{0}z_{0}-e^{x_{0}}) + y_{0}(x_{0}z_{0}) + z_{0}(x_{0}y_{0}) = 0.

Passo 6

Agora simplificamos essa soma agrupando termos. Observe os produtos:
x_{0}y_{0}z_{0} - x_{0}e^{x_{0}} + x_{0}y_{0}z_{0} + x_{0}y_{0}z_{0} = 0.
Isto é:
3x_{0}y_{0}z_{0} - x_{0}e^{x_{0}} = 0.
Factorizamos x_{0}:
x_{0}\big(3y_{0}z_{0} - e^{x_{0}}\big) = 0.

Passo 7

Temos portanto duas possibilidades: (i) x_{0}=0 ou (ii) 3y_{0}z_{0}-e^{x_{0}}=0.
  • Se x_{0}=0, então como P_{0}\in S temos x_{0}y_{0}z_{0}=e^{x_{0}} que vira 0\cdot y_{0}z_{0}=e^{0}, ou seja 0=1. Isso é impossível. Portanto x_{0}\neq 0.
  • Logo a única possibilidade é
3y_{0}z_{0} = e^{x_{0}}.

Passo 8

Usamos também a condição de que P_{0}\in S:
x_{0}y_{0}z_{0} = e^{x_{0}}.
Comparando com 3y_{0}z_{0} = e^{x_{0}}, podemos igualar as duas expressões para e^{x_{0}}:
x_{0}y_{0}z_{0} = 3y_{0}z_{0}.
Isso dá
(x_{0}-3)\,y_{0}z_{0} = 0.
Mas não podemos ter y_{0}z_{0}=0 porque então x_{0}y_{0}z_{0}=0 contradiz e^{x_{0}}>0. Portanto deve ser
x_{0}-3 = 0,
ou seja
x_{0}=3.

Passo 9

Com x_{0}=3 a condição do ponto em S fornece
3\cdot y_{0}z_{0} = e^{3},
ou seja
y_{0}z_{0} = \frac{e^{3}}{3}.
Conclusão: todos os pontos P_{0}\in S cujo plano tangente contém a origem são exatamente os pontos com x_{0}=3 e y_{0}z_{0}=\dfrac{e^{3}}{3}. Não há outros (já descartámos x_{0}=0 e y_{0}z_{0}=0 por contradição).

Resposta

(a) (y_{0}z_{0}-e^{x_{0}})(x-x_{0}) + (x_{0}z_{0})(y-y_{0}) + (x_{0}y_{0})(z-z_{0}) = 0.
(b) Todos os pontos (x_{0},y_{0},z_{0}) com x_{0}=3 e y_{0}z_{0}=\dfrac{e^{3}}{3}.

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