Considere a curva com paramétricas x=cos t, y=sen t cos t para 0 <= t <= 2 pi.
Determine (se existir) os pontos da curva onde a tangente horizontal e vertical.

Passo 1

O enunciado define a curva paramétrica
x=cos t, y=sin tcos t, 0<= t<= 2pi,
e pede os pontos onde a tangente é horizontal (slope zero) e onde é vertical (slope infinito). Para isso vamos usar derivadas paramétricas: a inclinação da tangente é
dydx=dydtdxdt

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t) em função de t:
dxdt = -sin t,
dydt = ddtl(sin tcos tr) = cos^2 t - sin^2 t = cos(2t)

Passo 3

Para tangente horizontal queremos dydt=0 com dxdtneq0. Então
cos(2t)=0 ;Rightarrow; 2t = pi2+kpi ;Rightarrow; t = pi4 + kpi2,;kinZ
No intervalo 0<= t<=2pi isso dá
t=pi4,;3pi4,;5pi4,;7pi4.
Em cada um desses t temos sin tneq0, logo dxdtneq0. Calculando os pontos:
para t=tfracpi4,
;x=cospi4=raiz22,;y=raiz22cdotraiz22=12
para t=tfrac3pi4,
;x=-raiz22,;y=raiz22cdotl(-raiz22r)=-12
para t=tfrac5pi4,
;x=-raiz22,;y=-raiz22cdot(-raiz22)=12
para t=tfrac7pi4,
;x=raiz22,;y=-raiz22cdotraiz22=-12

Passo 4

Para tangente vertical queremos dxdt=0 com dydtneq0. Então
-sin t=0 ;Rightarrow; sin t=0 ;Rightarrow; t=0,;pi,;2pi
Nesses valores cos(2t)=1neq0, logo dydtneq0. Os pontos são:
para t=0 e t=2pi,
;x=cos0=1,;y=0;
para t=pi,
;x=cospi=-1,;y=0.

Resposta

Tangentes horizontais nos pontos
l(tfracraiz22,tfrac12r),; l(-tfracraiz22,-tfrac12r),; l(-tfracraiz22,tfrac12r),; l(tfracraiz22,-tfrac12r)
Tangentes verticais nos pontos
(1,0)(duas vezes, para t=0,2pi), (-1,0)

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