Considere a curva com paramétricas x=cos t, y=sen t cos t para 0 <= t <= 2 pi.
Calcule a derivada d yd x.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva paramétrica com
x=cos t e y=sen t·cos t para 0≤t≤2π. O objetivo é encontrar a derivada dy/dx usando derivadas de curvas paramétricas.

Passo 2

Em curvas paramétricas, aplicamos
dydx=dydtdxdt
Primeiro, vamos calcular dx/dt.

Passo 3

Derivando x=cos t:
dxdt=-sin t
Isso segue da derivada de cos t.

Passo 4

Agora derivamos y=sen t·cos t usando a regra do produto:
dydt=cos t·cos t+sin t·(-sin t)=cos^2 t-sin^2 t
Substituindo em dy/dx e usando a identidade cos^2 t−sin^2 t=cos 2t, temos:
dydx=cos^2 t-sin^2 t-sin t=-cos2tsin t

Resposta

-\frac{\cos2t}{\sin t}

Exercícios relacionados