Considere a curva com paramétricas
para
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Calcule a derivada
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Calcule a derivada
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a curva paramétrica com
x=cos t e y=sen t·cos t para 0≤t≤2π. O objetivo é encontrar a derivada dy/dx usando derivadas de curvas paramétricas.
x=cos t e y=sen t·cos t para 0≤t≤2π. O objetivo é encontrar a derivada dy/dx usando derivadas de curvas paramétricas.
Passo 2
Em curvas paramétricas, aplicamos
Primeiro, vamos calcular dx/dt.
Passo 3
Derivando x=cos t:
Isso segue da derivada de cos t.
Passo 4
Agora derivamos y=sen t·cos t usando a regra do produto:
Substituindo em dy/dx e usando a identidade cos^2 t−sin^2 t=cos 2t, temos:
Resposta
-\frac{\cos2t}{\sin t}