Resolva as EDOs de
ordem lineares abaixo
x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=1
x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações relevantes que temos:
- A equação envolve a derivada
. - O coeficiente multiplicando
é , portanto é necessário cuidar do caso (não se pode dividir por se ). - O objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa igualdade em intervalos onde a equação é válida (ou seja, para ).
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão. Uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções conhecidas. Para obter essa forma, divido a equação dada por
(válido apenas para
):
Aqui identificamos:
Observação importante: a divisão por
exige trabalhar em intervalos onde
; a solução será dada em tais intervalos (por exemplo,
e
).
Passo 3
Apresentar a ideia do fator integrante (ou fator de integração). Para resolver
calculamos um fator
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Queremos
satisfazendo
Para que isso coincida com
precisamos que
. Isso leva a
portanto
Isto é a regra do fator integrante. Agora aplicamos ao nosso caso com
.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso
:
Trabalhamos normalmente em um intervalo onde
tem sinal constante (por exemplo
ou
). Podemos escolher
em um intervalo com
(ou
se
); a diferença de sinal fica absorvida na constante de integração depois. Assim, usaremos
para simplificar a escrita. Multiplicando a equação padrão por
obtemos:
Agora reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto:
Logo a equação se reescreve como
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Fazendo a integração:
o que dá
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
:
Essa é a solução geral válida em cada intervalo onde
. Podemos também escrever
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular
a partir da solução e checar na equação original. Tomando
temos
Multiplicando conforme a equação original:
confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação.
Passo 7
Conclusão e observações finais. A solução geral da EDO é
válida para
. Em provas: lembre-se de primeiro pôr a EDO na forma padrão, calcular o fator integrante
, multiplicar, reconhecer a derivada do produto, integrar e isolar
. Isso funciona para qualquer EDO linear de primeira ordem.