Resolva as EDOs de 1^{\mathrm{O}} ordem lineares abaixo
x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
x^{2}\frac{dy}{dx}+x y=1.
Informações relevantes que temos:
  • A equação envolve a derivada \dfrac{dy}{dx}.
  • O coeficiente multiplicando \dfrac{dy}{dx} é x^{2}, portanto é necessário cuidar do caso x=0 (não se pode dividir por x^{2} se x=0).
  • O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz essa igualdade em intervalos onde a equação é válida (ou seja, para x\neq 0).

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão. Uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas. Para obter essa forma, divido a equação dada por x^{2} (válido apenas para x\neq 0):
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}\,y=\frac{1}{x^{2}}.
Aqui identificamos:
P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=\frac{1}{x^{2}}.
Observação importante: a divisão por x^{2} exige trabalhar em intervalos onde x\neq 0; a solução será dada em tais intervalos (por exemplo, x>0 e x<0).

Passo 3

Apresentar a ideia do fator integrante (ou fator de integração). Para resolver
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)
calculamos um fator \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y. Queremos \mu satisfazendo
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)y.
Para que isso coincida com \mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y precisamos que \mu'(x)=\mu(x)P(x). Isso leva a
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x)\quad\Rightarrow\quad \ln\mu(x)=\int P(x)\,dx,
portanto
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Isto é a regra do fator integrante. Agora aplicamos ao nosso caso com P(x)=\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso P(x):
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{x}\,dx\Big)=\exp\!\big(\ln\lvert x\rvert\big)=\lvert x\rvert.
Trabalhamos normalmente em um intervalo onde x tem sinal constante (por exemplo x>0 ou x<0). Podemos escolher \mu(x)=x em um intervalo com x>0 (ou \mu(x)=-x se x<0); a diferença de sinal fica absorvida na constante de integração depois. Assim, usaremos \mu(x)=x para simplificar a escrita. Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=x obtemos:
x\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{x}.
Agora reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x\frac{dy}{dx}+y.
Logo a equação se reescreve como
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Fazendo a integração:
\int \frac{d}{dx}\big(xy\big)\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx
o que dá
x y=\ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y:
y=\frac{\ln\lvert x\rvert + C}{x}.
Essa é a solução geral válida em cada intervalo onde x\neq 0. Podemos também escrever
y=\frac{\ln\lvert x\rvert}{x}+\frac{C}{x}.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular \dfrac{dy}{dx} a partir da solução e checar na equação original. Tomando
y=\frac{\ln\lvert x\rvert + C}{x}=(\ln\lvert x\rvert + C)\,x^{-1},
temos
\frac{dy}{dx}= \frac{1}{x}\cdot x^{-1} - (\ln\lvert x\rvert + C)\,x^{-2} = \frac{1-(\ln\lvert x\rvert + C)}{x^{2}}.
Multiplicando conforme a equação original:
x^{2}\frac{dy}{dx}+x y = x^{2}\cdot\frac{1-(\ln\lvert x\rvert + C)}{x^{2}} + x\cdot\frac{\ln\lvert x\rvert + C}{x} = 1,
confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação.

Passo 7

Conclusão e observações finais. A solução geral da EDO é
y=\frac{\ln\lvert x\rvert + C}{x},
válida para x\neq 0. Em provas: lembre-se de primeiro pôr a EDO na forma padrão, calcular o fator integrante \mu=\exp(\int P), multiplicar, reconhecer a derivada do produto, integrar e isolar y. Isso funciona para qualquer EDO linear de primeira ordem.

Resposta

y=\frac{\ln\lvert x\rvert + C}{x}

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