Considere a curva
de parametrização
,
.
A curva está parametrizada pelo comprimento de arco?
A curva está parametrizada pelo comprimento de arco?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a curva $ C $ está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo de parametrizações de curvas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada do vetor posição
e verificar se a sua velocidade $ |\vec{r},’(t)| $ é igual a 1 para todo $ t \geq 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a $ t $. A curva está dada por:
A derivada
é obtida derivando cada componente em relação a $ t $:
Vamos derivar cada parte:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude da derivada, que representa a velocidade da curva:
Vamos simplificar isso:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Para a curva estar parametrizada pelo comprimento de arco, a velocidade $ |\vec{r},’(t)| $ precisa ser igual a 1 para todo $ t $. Vamos verificar:
Isso só será igual a 1 quando $ t = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Para outros valores de $ t $, a velocidade é diferente de 1.
Resposta
Não, a curva não está parametrizada pelo comprimento de arco.