Considere a curva C de parametrização r(t)=(sen t-t cos t, cos t+t sen t, t^22), com t >= 0.
A curva está parametrizada pelo comprimento de arco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a curva $ C $ está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo de parametrizações de curvas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada do vetor posição C e verificar se a sua velocidade $ |\vec{r},’(t)| $ é igual a 1 para todo $ t \geq 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a $ t $. A curva está dada por:
t
A derivada r(t) = ( sin t - t cos t, cos t + t sin t, t^22 ) é obtida derivando cada componente em relação a $ t $:
r,'(t)
Vamos derivar cada parte:
  1. t
  2. r,'(t) = ( ddt (sin t - t cos t), ddt (cos t + t sin t), ddt ( t^22 ) )
  3. ddt (sin t - t cos t) = cos t - (cos t - t sin t) = t sin t
Então,
ddt (cos t + t sin t) = -sin t + (sin t + t cos t) = t cos t

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude da derivada, que representa a velocidade da curva:
|r,'(t)| = raiz(t sin t)^2 + (t cos t)^2 + t^2
Vamos simplificar isso:
|r,'(t)| = raizt^2 sin^2 t + t^2 cos^2 t + t^2 = raizt^2 (sin^2 t + cos^2 t) + t^2
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
|r,'(t)| = raizt^2 cdot 1 + t^2 = raiz2 t^2 = raiz2 cdot t

Passo 4

Para a curva estar parametrizada pelo comprimento de arco, a velocidade $ |\vec{r},’(t)| $ precisa ser igual a 1 para todo $ t $. Vamos verificar:
|r,'(t)|
Isso só será igual a 1 quando $ t = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Para outros valores de $ t $, a velocidade é diferente de 1.

Resposta

Não, a curva não está parametrizada pelo comprimento de arco.

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