(2 pontos) Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, via Transformada de Laplace, o problema de valor inicial
Trata-se de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar as propriedades de
,
e
para encontrar
.
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Seja
. Usamos
Então
Passo 3
Substituindo na equação original, temos
Agrupando os termos em
e os termos constantes, dá
e, portanto,
Passo 4
Fatoramos o denominador e fazemos frações parciais. Como
queremos
Isso exige
Igualando coeficientes, obtemos
do que
e
. Então
Passo 5
Para voltar ao domínio do tempo, usamos transformada inversa de cada termo:
Logo a solução é
Passo 6
final_answer=
Passo 7
final_answer