(2 pontos) Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via Transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y'' + 3y' + 2y = 0, y(0)=1, y'(0)=0
Trata-se de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar as propriedades de Ly, Ly' e Ly'' para encontrar Y(s).

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Seja Y(s)=Ly(t). Usamos
Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0),
Ly' = sY(s) - y(0),
Ly = Y(s)
Então

Passo 3

Substituindo na equação original, temos
s^2Y(s) - scdot1 - 0 + 3l(sY(s)-1r) + 2Y(s) = 0
Agrupando os termos em Y(s) e os termos constantes, dá
(s^2 + 3s + 2) Y(s) - (s + 3) = 0
e, portanto,
Y(s) = s+3s^2 + 3s + 2

Passo 4

Fatoramos o denominador e fazemos frações parciais. Como
s^2 + 3s + 2 = (s+1)(s+2),
queremos
s+3(s+1)(s+2) = As+1 + Bs+2
Isso exige
A(s+2) + B(s+1) = s+3
Igualando coeficientes, obtemos
A + B = 1, 2A + B = 3
do que A=2 e B=-1. Então
Y(s) = 2s+1 - 1s+2

Passo 5

Para voltar ao domínio do tempo, usamos transformada inversa de cada termo:
L^-1tfrac2s+1 = 2e^-t, L^-1tfrac1s+2 = e^-2t
Logo a solução é

Passo 6

final_answer=

Passo 7

final_answer

Resposta

y(t)=2e^-t-e^-2t

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