Considere a curva C de parametrização r(t)=(sen t-t cos t, cos t+t sen t, t^22), com t >= 0.
Determine a função comprimento de arco a partir do ponto P=(0,1,0) no sentido de t crescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva C parametrizada por r(t) = (sin t - t cos t, cos t + t sin t, t^22) para t >= 0. O objetivo aqui é descobrir a função comprimento de arco a partir do ponto P = (0, 1, 0) quando t aumenta. Basicamente, queremos saber quanto a gente percorre na curva conforme t cresce.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o comprimento de arco. Ele nos dá a distância percorrida ao longo da curva entre dois pontos. Para calcular isso, usamos a fórmula:
S(t) = integrala^b |r,'(u)| , du
Aqui, |r,'(u)| é o módulo do vetor derivada da parametrização da curva, e a e b são os valores de t que delimitam o intervalo.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da nossa função r(t). Derivando cada componente em relação a t, temos:
r,'(t) = (cos t - cos t + t sin t, -sin t + sin t + t cos t, t)
Simplificando:
r,'(t) = (t sin t, t cos t, t)

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor derivada, que nos dá a velocidade instantânea:
|r,'(t)| = raiz(t sin t)^2 + (t cos t)^2 + t^2
Simplificando dentro da raiz:
|r,'(t)| = raizt^2 sin^2 t + t^2 cos^2 t + t^2 = raizt^2 (sin^2 t + cos^2 t) + t^2
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
|r,'(t)| = raizt^2 cdot 1 + t^2 = raiz2 t^2 = t raiz2

Passo 5

Agora que temos a expressão para |r,'(t)|, podemos montar a integral para o comprimento de arco:
S(t) = integral0^t |r,'(u)| , du = integral0^t u raiz2 , du

Passo 6

Vamos resolver essa integral:
S(t) = raiz2 integral0^t u , du = raiz2 [ u^22 ]0^t = raiz2 cdot t^22 = raiz22 t^2

Resposta

A função comprimento de arco é S(t) = raiz22 , t^2.

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