Considere a curva
de parametrização
,
.
Determine a função comprimento de arco a partir do ponto
no sentido de
crescente.
Determine a função comprimento de arco a partir do ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva
parametrizada por
para
. O objetivo aqui é descobrir a função comprimento de arco a partir do ponto
quando
aumenta. Basicamente, queremos saber quanto a gente percorre na curva conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o comprimento de arco. Ele nos dá a distância percorrida ao longo da curva entre dois pontos. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Aqui,
é o módulo do vetor derivada da parametrização da curva, e
e
são os valores de
que delimitam o intervalo.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da nossa função
. Derivando cada componente em relação a
, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor derivada, que nos dá a velocidade instantânea:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora que temos a expressão para
, podemos montar a integral para o comprimento de arco:
Passo 6
Vamos resolver essa integral:
Resposta
A função comprimento de arco é
.