Calcule os seguintes limites
lim x 1 e^x-1-1x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando x se aproxima de 1 da seguinte expressão:
lim x 1 e^x-1-1x-1
Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, parte da matemática que estuda o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de um certo ponto. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de L’Hôpital, que ajuda quando temos uma forma indeterminada como 00 .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente temos uma forma indeterminada quando substituímos x = 1 :
e^1-1-11-1 = e^0-10 = 1-10 = 00
Sim, temos a forma 00 , que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos usar o Teorema de L’Hôpital para prosseguir.

Passo 3

O Teorema de L’Hôpital diz que se o limite limx to c f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty , então podemos calcular o limite das derivadas das funções:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x)
No nosso caso, f(x) = e^x-1 - 1 e g(x) = x - 1 .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de f(x) e g(x) :
f'(x) = ddx ( e^x-1 - 1 ) = e^x-1 cdot 1 - 0 = e^x-1
g'(x) = ddx (x - 1) = 1

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite:
lim x 1 e^x-11 = e^1-1 = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1 .

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