Considere a curva
parametrizada por
. Seja o campo vetorial
.
(a) O campo vetorial
é um campo conservativo ou gradiente?
(b) Calcule a integral de linha
.
(a) O campo vetorial
(b) Calcule a integral de linha
Passo 1
O enunciado fornece:
- Curva
parametrizada por . O símbolo indica integral sobre curva fechada, portanto vou interpretar como o círculo completo de raio centrado na origem, isto é . - Campo vetorial
- Restrições implícitas pela fórmula de
: exige , isto é ; exige . Essas restrições definem onde está bem definida. - O círculo
tem todos os pontos com e . Logo todos os pontos de satisfazem e (em particular nenhum ponto de tem ). Assim a vizinhança do círculo está dentro do domínio onde é definida.
Perguntas pedidas:
(a) Determinar seé um campo conservativo (ou gradiente).
(b) Calcular.
Passo 2
Conceito/princípio que vamos usar (explicado devagar):
- Um campo vetorial
é conservativo (ou gradiente) em uma região se existe uma função potencial tal que , isto é
- Uma verificação prática em duas dimensões: se
e têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa e
em toda a região, então
é conservativo (existe
).
- Se
é conservativo e é uma curva fechada contida numa região onde existe , então a integral de linha fechada é zero:
pois a integral ao longo de um ciclo fechado de
telescopa:
.
Aplicaremos esse critério: vamos calcular
e
e comparar; se iguais, procuramos um potencial
(mostrarei como encontrá-lo) e então usaremos o teorema para concluir o valor da integral fechada.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais cruzadas (faço passo a passo e explico cada termo):
- Primeiro, escrevo explicitamente os componentes:
- Derivada parcial de
em relação a : -
de é porque isso não depende de . -
de é (tratamos como constante: derivada de é , multiplicando por dá ). -
de é .
Logo
-
- Derivada parcial de
em relação a : -
de é (não depende de ). -
de é (derivada de é , o fator é constante em ).
Logo
-
- Conclusão dessa comparação:
em todos os pontos onde
está definida (isto é, para
e
). As derivadas parciais são contínuas nesse domínio local.
Passo 4
Discussão sobre domínio e simply connected (explicando por que isso importa para a prova da existência do potencial):
- O campo
não está definido quando ou . Contudo, o círculo (raio centrado na origem) e sua interior estão totalmente contidos no conjunto e, de fato, mais especificamente dentro da parte do plano onde e está entre e . Essa região que contém é aberta e simplesmente conexa (não tem buracos dentro dela e não cruza a reta nem a linha onde o campo seria singular). - Como as derivadas parciais são iguais e contínuas nessa região simplesmente conexa que contém
, pelo critério que apresentei no passo anterior, é conservativo nessa região. Ou seja, existe uma função potencial tal que para todos os pontos que interessam ao nosso problema (os pontos de e seu interior).
Passo 5
Encontrar explicitamente a função potencial
(isso é didático e prático; mostrarei como obter passo a passo):
Queremos
tal que
Integro essa igualdade em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender somente de
.
Agora calcule cada integral separadamente.
- Integral de
.
- Faço integração por partes: escolha
e . Então e . - Assim
- Preciso calcular
. Faço divisão polinomial:
(Cheque rápido:
, então o resto é
, daí a fração acima.)
- Portanto
- Volto ao termo com fator
:
- Substituindo em integração por partes:
- Simplificando:
- Integral de
em relação a (tratando como constante):
- Integral de
em relação a :
Assim a expressão parcial para
é
Passo 6
Determinar
comparando
com
:
- Calculo
a partir da expressão acima: - Derivada de
em relação a é (são termos que não dependem de ). - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
- Derivada de
- Mas sabemos que
deve ser igual a . Comparando:
Logo
- Integro em relação a
:
- Assim uma função potencial válida é
(um
pode ser acrescentado sem alterar
).
Passo 7
Concluir se
é conservativo e calcular a integral fechada:
- Já mostramos explicitamente que existe
com na região que contém . Portanto é um campo conservativo (ou gradiente) nessa região. - Para qualquer campo gradiente, a integral de linha ao longo de uma curva fechada contida num domínio onde
está bem definida é zero. Como é uma curva fechada cujo interior está dentro do domínio onde determinamos , vale
(Se preferir ver concretamente:
porque começa e termina no mesmo ponto.)
Resposta
(a)
é conservativo (gradiente) na região que contém
.\n
(b) .
(b)