Considere a curva C parametrizada por \gamma(t)=(x(t) 3, y(t))=(2 \cos t, 2 \sin t), 0 \leqslant t \leqslant \pi. Seja o campo vetorial \vec{F}(x, y)=\left(x^{2} \ln (x+3)+6 x y^{2}+2 x y, \frac{1}{y+3}+(6 y+1) x^{2}\right).
(a) O campo vetorial \vec{F} é um campo conservativo ou gradiente?
(b) Calcule a integral de linha \oint_{C} \vec{F} \bullet d r.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Curva C parametrizada por \gamma(t)=(2\cos t,2\sin t). O símbolo \oint_{C} indica integral sobre curva fechada, portanto vou interpretar C como o círculo completo de raio 2 centrado na origem, isto é \gamma(t)=(2\cos t,2\sin t),\;0\le t\le 2\pi.
  • Campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\bigl(F_1(x,y),F_2(x,y)\bigr) =\left(x^{2}\ln(x+3)+6xy^{2}+2xy,\;\frac{1}{y+3}+(6y+1)x^{2}\right).
  • Restrições implícitas pela fórmula de \vec{F}: \ln(x+3) exige x+3>0, isto é x>-3; \dfrac{1}{y+3} exige y\neq -3. Essas restrições definem onde \vec{F} está bem definida.
  • O círculo C tem todos os pontos com |x|\le 2 e |y|\le 2. Logo todos os pontos de C satisfazem x>-3 e y\neq -3 (em particular nenhum ponto de C tem y=-3). Assim a vizinhança do círculo está dentro do domínio onde \vec{F} é definida.
    Perguntas pedidas:
    (a) Determinar se \vec{F} é um campo conservativo (ou gradiente).
    (b) Calcular \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Conceito/princípio que vamos usar (explicado devagar):
  • Um campo vetorial \vec{F}=(F_1,F_2) é conservativo (ou gradiente) em uma região se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}, isto é
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=F_1,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=F_2.
  • Uma verificação prática em duas dimensões: se F_1 e F_2 têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa e
\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x}
em toda a região, então \vec{F} é conservativo (existe \varphi).
  • Se \vec{F} é conservativo e C é uma curva fechada contida numa região onde existe \varphi, então a integral de linha fechada é zero:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\mathbf{r}=0,
pois a integral ao longo de um ciclo fechado de \nabla\varphi telescopa: \int_{A}^{A}\nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}=\varphi(A)-\varphi(A)=0.
Aplicaremos esse critério: vamos calcular \partial F_1/\partial y e \partial F_2/\partial x e comparar; se iguais, procuramos um potencial \varphi (mostrarei como encontrá-lo) e então usaremos o teorema para concluir o valor da integral fechada.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais cruzadas (faço passo a passo e explico cada termo):
  • Primeiro, escrevo explicitamente os componentes:
F_1(x,y)=x^{2}\ln(x+3)+6xy^{2}+2xy, \qquad F_2(x,y)=\frac{1}{y+3}+(6y+1)x^{2}.
  • Derivada parcial de F_1 em relação a y:
    • \partial/\partial y de x^{2}\ln(x+3) é 0 porque isso não depende de y.
    • \partial/\partial y de 6xy^{2} é 12xy (tratamos x como constante: derivada de y^{2} é 2y, multiplicando por 6x 12xy).
    • \partial/\partial y de 2xy é 2x.
      Logo
\frac{\partial F_1}{\partial y}=12xy+2x=2x(6y+1).
  • Derivada parcial de F_2 em relação a x:
    • \partial/\partial x de \dfrac{1}{y+3} é 0 (não depende de x).
    • \partial/\partial x de (6y+1)x^{2} é 2x(6y+1) (derivada de x^{2} é 2x, o fator (6y+1) é constante em x).
      Logo
\frac{\partial F_2}{\partial x}=2x(6y+1).
  • Conclusão dessa comparação:
\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x}=2x(6y+1)
em todos os pontos onde \vec{F} está definida (isto é, para x>-3 e y\neq -3). As derivadas parciais são contínuas nesse domínio local.

Passo 4

Discussão sobre domínio e simply connected (explicando por que isso importa para a prova da existência do potencial):
  • O campo \vec{F} não está definido quando x\le -3 ou y=-3. Contudo, o círculo C (raio 2 centrado na origem) e sua interior estão totalmente contidos no conjunto \{(x,y):x>-3,\;y\neq -3\} e, de fato, mais especificamente dentro da parte do plano onde x>-3 e y está entre -2 e 2. Essa região que contém C é aberta e simplesmente conexa (não tem buracos dentro dela e não cruza a reta y=-3 nem a linha x=-3 onde o campo seria singular).
  • Como as derivadas parciais são iguais e contínuas nessa região simplesmente conexa que contém C, pelo critério que apresentei no passo anterior, \vec{F} é conservativo nessa região. Ou seja, existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F} para todos os pontos que interessam ao nosso problema (os pontos de C e seu interior).

Passo 5

Encontrar explicitamente a função potencial \varphi(x,y) (isso é didático e prático; mostrarei como obter passo a passo):
Queremos \varphi tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=F_1(x,y)=x^{2}\ln(x+3)+6xy^{2}+2xy.
Integro essa igualdade em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int\bigl(x^{2}\ln(x+3)+6xy^{2}+2xy\bigr)\,dx + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender somente de y.
Agora calcule cada integral separadamente.
  1. Integral de \displaystyle x^{2}\ln(x+3)\,dx.
  • Faço integração por partes: escolha u=\ln(x+3) e dv=x^{2}dx. Então du=\dfrac{1}{x+3}dx e v=\dfrac{x^{3}}{3}.
  • Assim
\int x^{2}\ln(x+3)\,dx=\frac{x^{3}}{3}\ln(x+3)-\int\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x+3}\,dx.
  • Preciso calcular \displaystyle \int\frac{x^{3}}{x+3}\,dx. Faço divisão polinomial:
\frac{x^{3}}{x+3}=x^{2}-3x+9-\frac{27}{x+3}.
(Cheque rápido: (x+3)(x^{2}-3x+9)=x^{3}+27, então o resto é -27, daí a fração acima.)
  • Portanto
\int\frac{x^{3}}{x+3}\,dx=\int\bigl(x^{2}-3x+9\bigr)\,dx-27\int\frac{1}{x+3}\,dx =\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+9x-27\ln|x+3|.
  • Volto ao termo com fator 1/3:
\int\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x+3}\,dx =\frac{1}{3}\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+9x-27\ln|x+3|\right).
  • Substituindo em integração por partes:
\int x^{2}\ln(x+3)\,dx =\frac{x^{3}}{3}\ln(x+3) -\left(\frac{x^{3}}{9}-\frac{x^{2}}{2}+3x-9\ln|x+3|\right)+C.
  • Simplificando:
\int x^{2}\ln(x+3)\,dx =\frac{x^{3}}{3}\ln(x+3)-\frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{2}-3x+9\ln|x+3|+C.
  1. Integral de 6xy^{2} em relação a x (tratando y como constante):
\int 6xy^{2}\,dx=3x^{2}y^{2}.
  1. Integral de 2xy em relação a x:
\int 2xy\,dx = x^{2}y.
Assim a expressão parcial para \varphi é
\varphi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}\ln(x+3)-\frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{2}-3x+9\ln|x+3|+3x^{2}y^{2}+x^{2}y+h(y).

Passo 6

Determinar h(y) comparando \partial\varphi/\partial y com F_2:
  • Calculo \partial\varphi/\partial y a partir da expressão acima:
    • Derivada de \frac{x^{3}}{3}\ln(x+3)-\frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{2}-3x+9\ln|x+3| em relação a y é 0 (são termos que não dependem de y).
    • Derivada de 3x^{2}y^{2} é 6x^{2}y.
    • Derivada de x^{2}y é x^{2}.
    • Derivada de h(y) é h'(y).
      Portanto
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=6x^{2}y+x^{2}+h'(y)=x^{2}(6y+1)+h'(y).
  • Mas sabemos que \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} deve ser igual a F_2(x,y)=\dfrac{1}{y+3}+(6y+1)x^{2}. Comparando:
x^{2}(6y+1)+h'(y)=x^{2}(6y+1)+\frac{1}{y+3}.
Logo
h'(y)=\frac{1}{y+3}.
  • Integro em relação a y:
h(y)=\int\frac{1}{y+3}\,dy=\ln|y+3|+C.
  • Assim uma função potencial válida é
\boxed{\displaystyle \varphi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}\ln(x+3)-\frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{2}-3x+9\ln|x+3|+3x^{2}y^{2}+x^{2}y+\ln|y+3| }
(um +C pode ser acrescentado sem alterar \nabla\varphi).

Passo 7

Concluir se \vec{F} é conservativo e calcular a integral fechada:
  • Já mostramos explicitamente que existe \varphi com \nabla\varphi=\vec{F} na região que contém C. Portanto \vec{F} é um campo conservativo (ou gradiente) nessa região.
  • Para qualquer campo gradiente, a integral de linha ao longo de uma curva fechada contida num domínio onde \varphi está bem definida é zero. Como C é uma curva fechada cujo interior está dentro do domínio onde determinamos \varphi, vale
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\mathbf{r}=0.
(Se preferir ver concretamente: \oint_{C}\nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}=\varphi(P_{\text{final}})-\varphi(P_{\text{inicial}})=0 porque começa e termina no mesmo ponto.)

Resposta

(a) \vec{F} é conservativo (gradiente) na região que contém C.\n
(b) \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\mathbf{r}=0.

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