Questão 2 Resolva a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{2 x}+1}{e^{x}+y}
(Dica: Use a substituição u=e^{x}+y )

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{2 x}+1}{e^{x}+y},
e já dá a dica para usar a substituição \;u=e^{x}+y.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i)}\quad \frac{dy}{dx}=\frac{e^{2x}+1}{e^{x}+y}, \qquad \text{(ii)}\quad u=e^{x}+y.
O objetivo final é encontrar a solução geral y(x) (ou uma relação implícita entre x e y) usando a substituição indicada.
Nada mais será resolvido neste passo — agora vamos aplicar a substituição e transformar a equação.

Passo 2

Aplicando a substituição \;u=e^{x}+y vamos relacionar du/dx com dy/dx. Como u depende de x via e^{x} e y(x), pela regra da soma e da cadeia:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)+\frac{dy}{dx}=e^{x}+\frac{dy}{dx}.
Agora isolamos \frac{dy}{dx} para substituir na equação original:
\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}-e^{x}.

Passo 3

Substituímos \frac{dy}{dx} e também e^{x}+y por u na equação dada. A equação original era
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{2x}+1}{e^{x}+y}.
Substituindo \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}-e^{x} e e^{x}+y=u obtemos
\frac{du}{dx}-e^{x}=\frac{e^{2x}+1}{u}.
Agora isolamos \frac{du}{dx}:
\frac{du}{dx}=e^{x}+\frac{e^{2x}+1}{u}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por u para eliminar o denominador e obter uma expressão que envolva u e \dfrac{du}{dx}:
u\frac{du}{dx}=u e^{x}+e^{2x}+1.
Esta forma é conveniente porque o lado esquerdo é u vezes \dfrac{du}{dx}, que se relaciona com a derivada de u^{2}. Vou agora passar para uma variável auxiliar que simplifica a presença de e^{x}.

Passo 5

Definimos t=e^{x}. Esta é uma mudança de variável útil porque e^{2x}=t^{2} e \dfrac{d}{dx}=\dfrac{dt}{dx}\dfrac{d}{dt} com \dfrac{dt}{dx}=e^{x}=t. Assim:
\frac{du}{dx}= \frac{du}{dt}\frac{dt}{dx} = t\frac{du}{dt}.
Substituindo na igualdade do Passo 4:
u\left(t\frac{du}{dt}\right)=u t + t^{2}+1.
Dividindo por t (note que t=e^{x}>0, então não estamos dividindo por zero):
u\frac{du}{dt}=u + t + \frac{1}{t}.

Passo 6

Reescrevemos a igualdade do Passo 5 isolando os termos para facilitar manipulações com derivadas de u^{2}. Multiplicando por 1 e reorganizando:
u\frac{du}{dt}-u = t + \frac{1}{t}.
Observe que u\frac{du}{dt}=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(u^{2}). Usando isso, a equação fica
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(u^{2})-u = t + \frac{1}{t}.
Multiplicando por 2 para eliminar o meio:
\frac{d}{dt}(u^{2})-2u = 2t + \frac{2}{t}.

Passo 7

Agora agrupo a derivada e os termos livres de modo a preparar uma integração. Vou mover os termos dependentes de t para o lado direito:
\frac{d}{dt}(u^{2}) = 2u + 2t + \frac{2}{t}.
Integramos em relação a t. Ao integrar \dfrac{d}{dt}(u^{2}) obtemos u^{2}. Ao integrar o lado direito devemos integrar 2u + 2t + \dfrac{2}{t}. Escrevo:
u^{2} = 2\int u\,dt + \int (2t + \tfrac{2}{t})\,dt + C,
onde C é constante de integração.

Passo 8

Calculamos a integral explícita do termo que só depende de t:
\int\left(2t+\frac{2}{t}\right)dt = \int 2t\,dt + \int \frac{2}{t}\,dt = t^{2}+2\ln t.
Substituindo na expressão do Passo 7:
u^{2}=2\int u\,dt + t^{2} + 2\ln t + C.
Este é um primeiro integral implícito da equação transformada. Reorganizando:
u^{2}-2\int u\,dt - t^{2} - 2\ln t = C.
Isto é uma relação integral-implícita que a solução deve satisfazer.

Passo 9

Voltamos às variáveis originais: t=e^{x} e u=e^{x}+y. Substituindo t e u na relação implícita do Passo 8 obtemos:
\big(e^{x}+y\big)^{2} - 2\int \big(e^{x}+y\big)\,d\big(e^{x}\big) - e^{2x} - 2\ln\big(e^{x}\big) = C.
Aqui usei que a variável de integração em \int u\,dt era t=e^{x}, então \int u\,dt=\int (e^{x}+y)\,d(e^{x}). Note que d(e^{x})=e^{x}dx, e também \ln(e^{x})=x. Portanto podemos reescrever de forma mais explícita em termos de x:
\big(e^{x}+y\big)^{2} - 2\int \big(e^{x}+y\big)e^{x}\,dx - e^{2x} - 2x = C.

Passo 10

Simplificamos um pouco a integral potencialmente presente: \int (e^{x}+y)e^{x}\,dx=\int e^{2x}\,dx + \int y e^{x}\,dx. A primeira integral é \tfrac{1}{2}e^{2x}; a segunda é \int y e^{x}\,dx, que envolve y e, sem uma forma explícita de y(x), fica como integral não-elementar conhecida da solução. Então a solução geral fica apresentada de forma implícita pela relação obtida. Esta é a forma adequada quando a solução não é expressável simplesmente por funções elementares isoladas de x.

Resposta

\displaystyle (e^{x}+y)^{2}=2\int (e^{x}+y)\,d(e^{x})+e^{2x}+2x+C, onde C é constante arbitrária.

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