Questão 2 Resolva a equação diferencial
(Dica: Use a substituição
)
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial
e já dá a dica para usar a substituição
.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O objetivo final é encontrar a solução geral
(ou uma relação implícita entre
e
) usando a substituição indicada.
Nada mais será resolvido neste passo — agora vamos aplicar a substituição e transformar a equação.
Nada mais será resolvido neste passo — agora vamos aplicar a substituição e transformar a equação.
Passo 2
Aplicando a substituição
vamos relacionar
com
. Como
depende de
via
e
, pela regra da soma e da cadeia:
Agora isolamos
para substituir na equação original:
Passo 3
Substituímos
e também
por
na equação dada. A equação original era
Substituindo
e
obtemos
Agora isolamos
:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador e obter uma expressão que envolva
e
:
Esta forma é conveniente porque o lado esquerdo é
vezes
, que se relaciona com a derivada de
. Vou agora passar para uma variável auxiliar que simplifica a presença de
.
Passo 5
Definimos
. Esta é uma mudança de variável útil porque
e
com
. Assim:
Substituindo na igualdade do Passo 4:
Dividindo por
(note que
, então não estamos dividindo por zero):
Passo 6
Reescrevemos a igualdade do Passo 5 isolando os termos para facilitar manipulações com derivadas de
. Multiplicando por
e reorganizando:
Observe que
. Usando isso, a equação fica
Multiplicando por
para eliminar o meio:
Passo 7
Agora agrupo a derivada e os termos livres de modo a preparar uma integração. Vou mover os termos dependentes de
para o lado direito:
Integramos em relação a
. Ao integrar
obtemos
. Ao integrar o lado direito devemos integrar
. Escrevo:
onde
é constante de integração.
Passo 8
Calculamos a integral explícita do termo que só depende de
:
Substituindo na expressão do Passo 7:
Este é um primeiro integral implícito da equação transformada. Reorganizando:
Isto é uma relação integral-implícita que a solução deve satisfazer.
Passo 9
Voltamos às variáveis originais:
e
. Substituindo
e
na relação implícita do Passo 8 obtemos:
Aqui usei que a variável de integração em
era
, então
. Note que
, e também
. Portanto podemos reescrever de forma mais explícita em termos de
:
Passo 10
Simplificamos um pouco a integral potencialmente presente:
. A primeira integral é
; a segunda é
, que envolve
e, sem uma forma explícita de
, fica como integral não-elementar conhecida da solução. Então a solução geral fica apresentada de forma implícita pela relação obtida. Esta é a forma adequada quando a solução não é expressável simplesmente por funções elementares isoladas de
.