Questão 1 Verifique que a função
é solução da equação diferencial
Em seguida, determine o valor de
para que a solução satisfaça a condição inicial
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a equação diferencial
Pede-se:
- verificar que a função acima satisfaz essa equação diferencial; 2) determinar o valor de
de modo que a solução satisfaça a condição inicial .
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos calcular
passo a passo. Primeiro, derivamos o termo
. Use duas regras:
- Regra do produto: se
, então . - Regra da cadeia para
: se , então .
Defina
e
.
Então
Então
e, pela regra da cadeia,
Aplicando a regra do produto:
Note que
, logo a segunda parcela simplifica para
. Assim
Passo 3
Agora derivamos o termo
. Como
é constante,
Passo 4
Somando as derivadas obtidas, obtemos
Agora calcule
. Lembre que
Somando termo a termo:
Os termos
e
se cancelam; os termos
e
também se cancelam. Portanto sobra apenas
Concluímos que a função dada satisfaz exatamente a equação diferencial. (Isso também mostra, didaticamente, que
é uma solução particular e
é a solução geral do homogêneo
.)
Passo 5
Agora impomos a condição inicial
. Calculamos
a partir da expressão de
:
Impondo
temos
Resposta
Sim, a função é solução da equação
.