Dada a f(x)=x^33-2 x^2+3 x+1.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento na função dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Isso envolve Cálculo, mais especificamente o estudo das derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função f(x) = x^33 - 2x^2 + 3x + 1 . A derivada, representada por f'(x) = ddx(x^33) - ddx(2x^2) + ddx(3x) + ddx(1) , nos diz a taxa de variação da função. Se f'(x) = x^2 - 4x + 3 , a função está crescendo; se , está decrescendo.
Vamos derivar cada termo de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde f'(x) = x^2 - 4x + 3 = 0 é igual a zero, porque esses pontos são críticos e podem mudar o comportamento da função de crescente para decrescente ou vice-versa.
x = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 32 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22
Resolvendo a equação quadrática:
x = 4 + 22 = 3 e x = 4 - 22 = 1
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos para ver onde a derivada é positiva ou negativa.
  1. Intervalo f'(0) = 0^2 - 4 cdot 0 + 3 = 3 > 0 :
    • Escolha f'(2) = 2^2 - 4 cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0 :
    f'(4) = 4^2 - 4 cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0
    Então, está crescente nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está decrescente nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está crescente nesse intervalo.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e decrescendo no intervalo .

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