Calcule a integral de linha
por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.
Onde
é a linha de um círculo com centro na origem e raio 1. Ou seja,
é
Na letra b), teremos que utilizar o Teorema de Green
Que diz que podemos transformar uma integral de linha em uma integral dupla utilizando
a relação acima.
Onde, na integral de linha
é tudo que está ao lado de
é tudo que está ao lado de
e
é o contorno da curva. Nesse caso a circunferência! as a circunferencia!
E na integral dupla que vamos fazer,
é o interior da curva que precisa estar orientada
positivamente que nessa questão é o círculo!
É a derivada parcial de
em relação à
,
É a derivada parcial de
em relação à y e
E por que fariamos isso?
Bem, essa integral de linha não é muito complicada de resolver, mas existem outras que
são ousuas êmpossiveis de resolver pela defininção. Nesses casos, o teorema facilita muito nossa vida.
Portanto, como essa resolução é da letra a)
Vamos resolver a integral de linha primeiro parametrizando a curva
e depois calculando
a integral.
Show?
Onde
a relação acima.
Onde, na integral de linha
E na integral dupla que vamos fazer,
positivamente que nessa questão é o círculo!
É a derivada parcial de
Bem, essa integral de linha não é muito complicada de resolver, mas existem outras que
são ousuas êmpossiveis de resolver pela defininção. Nesses casos, o teorema facilita muito nossa vida.
Portanto, como essa resolução é da letra a)
Vamos resolver a integral de linha primeiro parametrizando a curva
a integral.
Show?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo do círculo
, usando (a) uma parametrização direta e (b) o Teorema de Green. O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo vetorial e o Teorema de Green que relaciona uma integral de linha fechada a uma integral dupla sobre a região interior.
Passo 2
Para o método direto, parametrizamos
por\
daí
e substituímos no integrando:
e substituímos no integrando:
Integrando de 0 até
dá
Passo 3
No método com o Teorema de Green, identificamos o campo
com
O Teorema diz
O Teorema diz
então calculamos
logo
Passo 4
A integral dupla sobre o disco unitário
é