Calcule a integral de linha integralC y d x-x d y por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.
Onde C é a linha de um círculo com centro na origem e raio 1. Ou seja, C é
x^2+y^2=1
Na letra b), teremos que utilizar o Teorema de Green
integralC P d x+Q d y=integral duplaD(partial Qpartial x-partial Ppartial y) d A
Que diz que podemos transformar uma integral de linha em uma integral dupla utilizando
a relação acima.
Onde, na integral de linha P é tudo que está ao lado de d x, Q é tudo que está ao lado de
d y e C é o contorno da curva. Nesse caso a circunferência! as a circunferencia!
E na integral dupla que vamos fazer, D é o interior da curva que precisa estar orientada
positivamente que nessa questão é o círculo!
partial Qpartial x
É a derivada parcial de Q em relação à x,
partial Ppartial y
É a derivada parcial de P em relação à y e
d A=d x d y
E por que fariamos isso?
Bem, essa integral de linha não é muito complicada de resolver, mas existem outras que
são ousuas êmpossiveis de resolver pela defininção. Nesses casos, o teorema facilita muito nossa vida.
Portanto, como essa resolução é da letra a)
Vamos resolver a integral de linha primeiro parametrizando a curva C e depois calculando
a integral.
Show?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC y,dx - x,dy ao longo do círculo C: x^2 + y^2 = 1, usando (a) uma parametrização direta e (b) o Teorema de Green. O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo vetorial e o Teorema de Green que relaciona uma integral de linha fechada a uma integral dupla sobre a região interior.

Passo 2

Para o método direto, parametrizamos C por\
x = cos t, y = sin t, tin [0,2pi],
daí
y,dx - x,dy = sin t(-sin t,dt) - cos t(cos t,dt) = -l(sin^2 t + cos^2 tr)dt = -1,dt
e substituímos no integrando:
2pi
Integrando de 0 até integral0^2pi -1,dt = -2pi

Passo 3

No método com o Teorema de Green, identificamos o campo F = (P,Q) com
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) dA,
O Teorema diz
partial Qpartial x = -1, partial Ppartial y = 1,
então calculamos
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -2
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Passo 4

A integral dupla sobre o disco unitário D é
integral duplaD (-2),dA = -2 integral duplaD dA = -2 cdot Área(D) = -2 cdot pi = -2pi Á

Resposta

-2pi

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