Considere a quádrica dada por
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b) (1,25 pontos) Identifique e apresente duas possíveis parametrizações para curva obtida da interseção da superfície com
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b) (1,25 pontos) Identifique e apresente duas possíveis parametrizações para curva obtida da interseção da superfície com
Passo 1
Estamos buscando a curva de interseção entre a quádricas
e o plano
. O conteúdo é seção de quádricas, e vamos usar álgebra para obter a equação no plano e depois parametrizar uma hipérbole.
Passo 2
Substituímos
na equação da superfície:
e, dividindo por 2:
Passo 3
Reescrevemos em forma canônica de hipérbole. Primeiro trazemos tudo para um lado:
e em seguida dividimos por 5:
Passo 4
Isso mostra que é uma hipérbole com semi-eixos
no eixo
e
no eixo
.
Passo 5
Uma parametrização clássica usando funções hiperbólicas é:
Outra opção é usar função trigonométrica (secante e tangente):
Resposta
Duas parametrizações possíveis da curva de interseção são:
- Usando funções hiperbólicas:
x(t)= (√5/2) sinh(t),
y(t)= √(5/2) cosh(t),
z(t)=1,
com t∈R. - Usando trigonometria:
x(θ)= (√5/2) tan(θ),
y(θ)= √(5/2) sec(θ),
z(θ)=1,
com θ variando num intervalo que evite os polos de tan e sec.