Considere a quádrica dada por 2 y^2+4 z=8+4 x^2+z^2.
b) (1,25 pontos) Identifique e apresente duas possíveis parametrizações para curva obtida da interseção da superfície com z=1.

Passo 1

Estamos buscando a curva de interseção entre a quádricas
2y^2 + 4z = 8 + 4x^2 + z^2
e o plano z=1. O conteúdo é seção de quádricas, e vamos usar álgebra para obter a equação no plano e depois parametrizar uma hipérbole.

Passo 2

Substituímos z=1 na equação da superfície:
2y^2 + 4cdot1 = 8 + 4x^2 + 1^2
2y^2 + 4 = 8 + 4x^2 + 1
2y^2 = 5 + 4x^2
e, dividindo por 2:
y^2 = 5 + 4x^22

Passo 3

Reescrevemos em forma canônica de hipérbole. Primeiro trazemos tudo para um lado:
2y^2 - 4x^2 = 5
e em seguida dividimos por 5:
y^25/2 - x^25/4 = 1

Passo 4

Isso mostra que é uma hipérbole com semi-eixos a=raiz5/2 no eixo y e b=raiz5/4=tfracraiz52 no eixo x.

Passo 5

Uma parametrização clássica usando funções hiperbólicas é:
x(t) = raiz52sinh(t),
y(t) = raiztfrac52cosh(t),
z(t) = 1, onde tin R.
Outra opção é usar função trigonométrica (secante e tangente):
x(theta) = raiz52tan(theta),
y(theta) = raiztfrac52sec(theta),
z(theta) = 1, com theta variando num intervalo adequado que cubra ambas as partes da hipérbole.

Resposta

Duas parametrizações possíveis da curva de interseção são:
  1. Usando funções hiperbólicas:
    x(t)= (√5/2) sinh(t),
    y(t)= √(5/2) cosh(t),
    z(t)=1,
    com t∈R.
  2. Usando trigonometria:
    x(θ)= (√5/2) tan(θ),
    y(θ)= √(5/2) sec(θ),
    z(θ)=1,
    com θ variando num intervalo que evite os polos de tan e sec.

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