Faça o que se pede:
a) (2 pontos) Resolva integral6^7 d xraizx^2-6 x+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, o conteúdo envolve cálculo integral, mais especificamente integração de funções racionais envolvendo raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula de integração que lida com expressões desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado dentro da raiz para simplificar a expressão. A expressão x^2 - 6x + 1 = (x^2 - 6x + 9) - 8 = (x - 3)^2 - 8 pode ser reescrita completando o quadrado:
integral6^7 dxraiz(x - 3)^2 - 8
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que a integral está na forma integral dxraiz(x - 3)^2 - 8 = ln|(x - 3) + raiz(x - 3)^2 - 8| + C , cuja antiderivada é . No nosso caso, com a substituição , temos:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 6 a 7:
Para ln|(7 - 3) + raiz(7 - 3)^2 - 8| = ln|4 + raiz16 - 8| = ln(4 + raiz8) = ln(4 + 2raiz2) :
ln|(6 - 3) + raiz(6 - 3)^2 - 8| = ln|3 + raiz9 - 8| = ln(3 + 1) = ln(4)
Para :

Passo 5

Subtraindo as duas avaliações, temos:
ln(4 + 2raiz2) - ln(4) = ln(4 + 2raiz24) = ln(1 + raiz22)
Para obter um valor numérico aproximado, calculamos:
ln(4 + 2raiz2) approx ln(6.8284) approx 1.9247
ln(4) approx 1.3863
1.9247 - 1.3863 approx 0.5384

Resposta

A integral é aproximadamente igual a 0,5384.

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