Considere a curva parametrizada por
.
b) (1,5 pontos) Qual o comprimento dessa curva? (talvez ajude lembrar que
)
b) (1,5 pontos) Qual o comprimento dessa curva? (talvez ajude lembrar que
Passo 1
O enunciado pede pra calcular o comprimento da curva parametrizada por
em
. O conteúdo central aqui é comprimento de curvas em
, que envolve derivar
, calcular a velocidade
e integrar essa velocidade no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro derivamos cada componente de
. Temos
Passo 3
Em seguida calculamos o módulo do vetor derivada, que é a velocidade instantânea:
Passo 4
Agora vamos simplificar o que está sob a raiz. Note que
E como
fica
Passo 5
Usando a identidade de semi-ângulo
, obtemos
Passo 6
O comprimento da curva é
Fazendo a mudança de variável
(logo
e
,
) e explorando a simetria de
num período, reduzimos a integral a
Passo 7
Para escrever isso em função de uma integral elíptica completa do segundo tipo, note que
Fazendo a substituição
transforma-se em
onde
. Essa última integral é a integral elíptica completa do segundo tipo
. Então
Passo 8
Reunindo tudo, chegamos à forma fechada para o comprimento:
Passo 9
Resposta
L = 4\sqrt{145},E\Bigl(\sqrt{\tfrac{144}{145}}\Bigr)