Considere a curva parametrizada por sigma(t)=(6(t-sen(t)), 6(1-cos (t)), t in[0,2 pi].
b) (1,5 pontos) Qual o comprimento dessa curva? (talvez ajude lembrar que 2 sen^2(t)=1-cos (2 t) )

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o comprimento da curva parametrizada por sigma(t)=(6(t-sin t),,6(1-cos t),,t) em [0,2pi]. O conteúdo central aqui é comprimento de curvas em R^3, que envolve derivar sigma(t), calcular a velocidade |sigma'(t)| e integrar essa velocidade no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro derivamos cada componente de sigma(t). Temos
sigma'(t) = l(6(1-cos t),;6sin t,;1r)

Passo 3

Em seguida calculamos o módulo do vetor derivada, que é a velocidade instantânea:
|sigma'(t)| = raiz[6(1-cos t)]^2 + [6sin t]^2 + 1^2

Passo 4

Agora vamos simplificar o que está sob a raiz. Note que
36(1-cos t)^2 + 36sin^2 t + 1 = 36l((1-cos t)^2 + sin^2 tr) + 1
E como
(1-cos t)^2 + sin^2 t = 1 - 2cos t + cos^2 t + sin^2 t = 2(1-cos t),
fica
36cdot2(1-cos t) + 1 = 72(1-cos t) + 1

Passo 5

Usando a identidade de semi-ângulo 1-cos t = 2sin^2(tfrac t2), obtemos
|sigma'(t)| = raiz1 + 72cdot2sin^2l(tfrac t2r) = raiz1 + 144sin^2l(tfrac t2r)

Passo 6

O comprimento da curva é
L = integral0^2pi |sigma'(t)|,dt = integral0^2pi raiz1 + 144sin^2l(tfrac t2r),dt
Fazendo a mudança de variável u = t/2 (logo dt = 2,du e t=0to u=0, t=2pito u=pi) e explorando a simetria de sin^2 u num período, reduzimos a integral a
L = 2integral0^pi raiz1 + 144sin^2 u,du = 4integral0^tfracpi2 raiz1 + 144sin^2 u,du

Passo 7

Para escrever isso em função de uma integral elíptica completa do segundo tipo, note que
1 + 144sin^2 u = 145 - 144cos^2 u = 145l(1 - tfrac144145cos^2 ur)
Fazendo a substituição v = tfracpi2 - u transforma-se em
integral0^tfracpi2 raiz1 + 144sin^2 u,du = raiz145integral0^tfracpi2 raiz1 - k^2sin^2 v,dv,
onde k^2 = 144/145. Essa última integral é a integral elíptica completa do segundo tipo E(k). Então

Passo 8

Reunindo tudo, chegamos à forma fechada para o comprimento:

Passo 9

Resposta

L = 4\sqrt{145},E\Bigl(\sqrt{\tfrac{144}{145}}\Bigr)

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