y^prime & =y^2-5 y(0) & =-raiz5

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de equação diferencial ordinária (EDO), especificamente , com a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver EDOs onde conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar dydx = y^2 - 5 e 1y^2 - 5 , dy = dx . A equação original é:
Queremos colocar todos os termos de de um lado e os de do outro. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar uma expressão para integral 1y^2 - 5 , dy = integral dx em função de integral 1y^2 - a^2 , dy = 12a ln | y - ay + a | + C . A integral fica:
12raiz5 ln | y - raiz5y + raiz5 | = x + C
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando uma substituição apropriada ou reconhecendo uma forma padrão. Sabemos que:
No nosso caso, , então a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver para ln | y - raiz5y + raiz5 | = 2raiz5 , x + C' em termos de y - raiz5y + raiz5 = e^2raiz5 , x + C' . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por y - raiz5y + raiz5 = K e^2raiz5 , x :
Onde é uma constante arbitrária.
Em seguida, aplicamos a exponenciação para eliminar o logaritmo:
Podemos escrever como uma nova constante :

Passo 5

Agora, resolvemos para y - raiz5 = K e^2raiz5 , x (y + raiz5) . Multiplicando ambos os lados por y - raiz5 = K e^2raiz5 , x y + K e^2raiz5 , x raiz5 :
y - K e^2raiz5 , x y = raiz5 (1 + K e^2raiz5 , x)
Distribuindo o y (1 - K e^2raiz5 , x) = raiz5 (1 + K e^2raiz5 , x) :
y = raiz5 1 + K e^2raiz5 , x1 - K e^2raiz5 , x
Reagrupando os termos com :
Fatorando :
Finalmente, isolamos :

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial -raiz5 = raiz5 1 + K1 - K para encontrar a constante -1 = 1 + K1 - K . Substituindo -1 (1 - K) = 1 + K -1 + K = 1 + K -1 = 1 :
y = raiz5 1 + K e^2raiz5 , x1 - K e^2raiz5 , x
Dividindo ambos os lados por -raiz5 = raiz5 1 + K1 - K :
-raiz5 (1 - K) = raiz5 (1 + K)
Resolvendo para - (1 - K) = 1 + K -1 + K = 1 + K :
-1 = 1
Isso sugere que houve um erro na manipulação. Vamos revisar:
Voltando à equação anterior:
Substituindo e :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por :
Subtraindo de ambos os lados:
Isso indica que não existe uma solução que satisfaça a condição inicial dada. Portanto, não há solução real para o problema com a condição inicial .

Resposta

Não existe solução real para a equação diferencial dada que satisfaça a condição inicial .

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