Considere a curva parametrizada por
.
(1,5 pontos) Qual o comprimento dessa curva? (talvez ajude lembrar que
)
(1,5 pontos) Qual o comprimento dessa curva? (talvez ajude lembrar que
Passo 1
A questão pede o comprimento de curva paramétrica, que cai no conteúdo de comprimento de curvas em coordenadas paramétricas. Para resolver, vamos precisar derivar a parametrização e depois integrar a norma do vetor derivada no intervalo dado.
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Derivando componente a componente, temos:
. Isso vem simplesmente de
e
.
Passo 3
Para encontrar a norma de
, montamos:
Usando a identidade trigonométrica
, vemos que
Passo 4
Logo, a norma fica
No intervalo
, temos
, então
.
Passo 5
Finalmente, o comprimento é
Fazendo a integral,
Passo 6
Portanto, o comprimento da curva é 48 unidades.
Resposta
48