Considere a curva parametrizada por sigma(t)=(6(t-sen(t)), 6(1-cos (t)), t in[0,2 pi].
(1,5 pontos) Qual o comprimento dessa curva? (talvez ajude lembrar que 2 sen^2(t)=1-cos (2 t) )

Passo 1

A questão pede o comprimento de curva paramétrica, que cai no conteúdo de comprimento de curvas em coordenadas paramétricas. Para resolver, vamos precisar derivar a parametrização e depois integrar a norma do vetor derivada no intervalo dado.

Passo 2

Calculamos a derivada de sigma(t)=(6(t-sin t),;6(1-cos t)). Derivando componente a componente, temos: sigma'(t)=(6(1-cos t),;6sin t). Isso vem simplesmente de (t-sin t)'=1-cos t e (1-cos t)'=sin t.

Passo 3

Para encontrar a norma de sigma'(t), montamos:
|sigma'(t)| = 6raiz(1-cos t)^2 + (sin t)^2
Usando a identidade trigonométrica 2sin^2(t/2)=1-cos t, vemos que
(1-cos t)^2 + sin^2 t = (1-cos t)(1-cos t + 1+cos t)=2(1-cos t)=4sin^2(t/2)

Passo 4

Logo, a norma fica
|sigma'(t)| = 6raiz4sin^2(t/2) = 12,|sin(t/2)|
No intervalo [0,2pi], temos sin(t/2)>=0, então |sigma'(t)|=12sin(t/2).

Passo 5

Finalmente, o comprimento é
L = integral0^2pi |sigma'(t)| ,dt = integral0^2pi 12sinl(t/2r),dt
Fazendo a integral,
L = 12l[-2cos(t/2)r]0^2pi = -24l(cospi - cos0r) = -24(-1 - 1) = 48

Passo 6

Portanto, o comprimento da curva é 48 unidades.

Resposta

48

Exercícios relacionados