Seja f(x, y)=x^2+y^2. Calcule partial fpartial u(1,1), onde u é o versor de v=(-1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f(x,y)=x^2+y^2 no ponto (1,1) na direção do versor de vec v = (-1,1). Para resolver, vamos usar que a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de f pelo vetor unitário nessa direção.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f. As derivadas parciais são partial fpartial x=2x e partial fpartial y=2y. Logo,
nabla f(x,y) = (2x,,2y)

Passo 3

Agora encontramos o versor vec u de vec v. O módulo de vec v é
|vec v| = raiz(-1)^2 + 1^2 = raiz2
Então,
vec u = vec v|vec v| = l(-1raiz2,,1raiz2r)

Passo 4

Por fim, avaliamos o gradiente em (1,1) e fazemos o produto escalar com vec u. Temos
nabla f(1,1) = (2,,2)
e
Dvec uf(1,1) = nabla f(1,1)cdotvec u = (2,2)cdotl(-1raiz2,1raiz2r) = 0

Passo 5

A derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção de vec u é, portanto, zero.

Resposta

0

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