Considere a curva parametrizada \varphi(\mathrm{t})=\left(\mathrm{t}^{2}, \mathrm{t}^{3}-2, \mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}\right) e o ponto ( 4,6,2 ) Considerando uma trajetória, calcule a velocidade escalar, aceleração tangencial e normal nesse ponto.
Passo 1
O enunciado dá:
A curva parametrizada \varphi(\mathrm{t})=\left(\mathrm{t}^{2},\,\mathrm{t}^{3}-2,\,\mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}\right).
O ponto (4,6,2).
O que é pedido:
Calcular a velocidade escalar, a aceleração tangencial e a aceleração normal “nesse ponto” (ou seja, nos pontos da trajetória correspondentes ao ponto dado).
Observação essencial: para calcular essas quantidades “no ponto” é necessário que o ponto pertença à curva, isto é, exista \mathrm{t} tal que \varphi(\mathrm{t})=(4,6,2). A próxima etapa verifica isso.
Passo 2
Verificar se existe \mathrm{t}\) com \(\varphi(\mathrm{t})=(4,6,2)\). Isso exige resolver o sistema
\[\begin{cases} \mathrm{t}^{2}=4,\\[4pt] \mathrm{t}^{3}-2=6,\\[4pt] \mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}=2. \end{cases}
Resolver as duas primeiras equações:
Da primeira: \mathrm{t}^{2}=4\] dá \(\mathrm{t}=2 ou \mathrm{t}=-2.
Da segunda: \mathrm{t}^{3}-2=6 dá \mathrm{t}^{3}=8 e portanto \mathrm{t}=2.
Da comparação das duas primeiras equações concluímos que, se existir, o candidato é \mathrm{t}=2. Agora verificar a terceira equação para \mathrm{t}=2:
Para \mathrm{t}=-2 a terceira coordenada é -2+4=2 (coincide com o z pedido) mas a segunda coordenada para \mathrm{t}=-2 é (-8)-2=-10\neq6. Portanto não existe \mathrm{t} que satisfaça simultaneamente as três coordenadas: o ponto (4,6,2) NÃO pertence à curva \varphi(\mathrm{t}).
Conclusão intermediária: não é possível avaliar “nesse ponto” porque o ponto dado não está na trajetória.]
Passo 3
Explicando a teoria necessária — como se faz quando o ponto pertence à curva (a parte prática que você precisará saber para a prova).
Definições e fórmulas principais para uma curva no espaço \varphi(\mathrm{t}):
Vetor velocidade: \displaystyle \mathbf{v}(\mathrm{t})=\varphi'(\mathrm{t}). Esse vetor dá direção e sentido da trajetória; suas componentes são as derivadas das componentes da curva.
Velocidade escalar (ou rapidez): \displaystyle v(\mathrm{t})=\|\mathbf{v}(\mathrm{t})\|. É a norma (módulo) do vetor velocidade.
Mostrei passo a passo: derivada de \mathrm{t}^{2} é 2\mathrm{t}; de \mathrm{t}^{3}-2 é 3\mathrm{t}^{2}; de \mathrm{t}+\mathrm{t}^{2} é 1+2\mathrm{t}. Segunda derivada idem.
Passo 5
Expressões gerais para velocidade escalar, aceleração tangencial e normal em função de \mathrm{t} (colocando as derivadas já encontradas):
(Detalhe das contas: componente x = 3\mathrm{t}^{2}\cdot2-(1+2\mathrm{t})\cdot6\mathrm{t}=6\mathrm{t}^{2}-6\mathrm{t}-12\mathrm{t}^{2}=-6\mathrm{t}-6\mathrm{t}^{2}; componente y= (1+2\mathrm{t})\cdot2-(2\mathrm{t})\cdot2=2; componente z= 2\mathrm{t}\cdot6\mathrm{t}-3\mathrm{t}^{2}\cdot2=6\mathrm{t}^{2}.)
Norma ao quadrado desse vetorial:
Também é possível simplificar fatorando 4 do numerador se quiser escrever 2\sqrt{18\mathrm{t}^{4}+18\mathrm{t}^{3}+9\mathrm{t}^{2}+1}, mas não é necessário.
Passo 6
Retomando a situação do enunciado: o ponto pedido (4,6,2) não pertence à curva, logo NÃO é possível avaliar numericamente v, a_T e a_N “nesse ponto” porque não existe \mathrm{t} que gere esse ponto pela parametrização dada. Isso é a resposta direta e indispensável para o pedido como formulado.
Dica útil para a prova (sem pedir nada a mais): se houver erro de digitação no enunciado e o ponto correto fosse, por exemplo, (4,6,6) (que corresponde a \mathrm{t}=2) ou o enunciador quisesse a avaliação em \mathrm{t}=2, é só substituir \mathrm{t}=2 nas fórmulas acima e obter os valores numéricos. Para facilitar seu estudo, mostro rapidamente essas avaliações no caso \mathrm{t}=2 (apenas como exemplo de aplicação das fórmulas):
Para \mathrm{t}=2:v(2)=\sqrt{185},\qquad a_T(2)=\frac{162}{\sqrt{185}},\qquad a_N(2)=\frac{\sqrt{1876}}{\sqrt{185}}=\frac{2\sqrt{469}}{\sqrt{185}}.Esses são os valores que se obteriam se o ponto pedido fosse realmente o correspondente a \mathrm{t}=2.
Resposta
O ponto \,(4,6,2)\, não pertence à curva \varphi(\mathrm{t}); portanto não é possível calcular a velocidade escalar, a aceleração tangencial e a aceleração normal nesse ponto.