Considere a curva parametrizada \varphi(\mathrm{t})=\left(\mathrm{t}^{2}, \mathrm{t}^{3}-2, \mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}\right) e o ponto ( 4,6,2 ) Considerando uma trajetória, calcule a velocidade escalar, aceleração tangencial e normal nesse ponto.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A curva parametrizada \varphi(\mathrm{t})=\left(\mathrm{t}^{2},\,\mathrm{t}^{3}-2,\,\mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}\right).
  • O ponto (4,6,2).
    O que é pedido:
  • Calcular a velocidade escalar, a aceleração tangencial e a aceleração normal “nesse ponto” (ou seja, nos pontos da trajetória correspondentes ao ponto dado).
Observação essencial: para calcular essas quantidades “no ponto” é necessário que o ponto pertença à curva, isto é, exista \mathrm{t} tal que \varphi(\mathrm{t})=(4,6,2). A próxima etapa verifica isso.

Passo 2

Verificar se existe \mathrm{t}\) com \(\varphi(\mathrm{t})=(4,6,2)\). Isso exige resolver o sistema \[\begin{cases} \mathrm{t}^{2}=4,\\[4pt] \mathrm{t}^{3}-2=6,\\[4pt] \mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}=2. \end{cases}
Resolver as duas primeiras equações:
  • Da primeira: \mathrm{t}^{2}=4\] dá \(\mathrm{t}=2 ou \mathrm{t}=-2.
  • Da segunda: \mathrm{t}^{3}-2=6 \mathrm{t}^{3}=8 e portanto \mathrm{t}=2.
Da comparação das duas primeiras equações concluímos que, se existir, o candidato é \mathrm{t}=2. Agora verificar a terceira equação para \mathrm{t}=2:
\mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}\Big|_{\mathrm{t}=2}=2+4=6\neq 2.
Para \mathrm{t}=-2 a terceira coordenada é -2+4=2 (coincide com o z pedido) mas a segunda coordenada para \mathrm{t}=-2 é (-8)-2=-10\neq6. Portanto não existe \mathrm{t} que satisfaça simultaneamente as três coordenadas: o ponto (4,6,2) NÃO pertence à curva \varphi(\mathrm{t}).
Conclusão intermediária: não é possível avaliar “nesse ponto” porque o ponto dado não está na trajetória.]

Passo 3

Explicando a teoria necessária — como se faz quando o ponto pertence à curva (a parte prática que você precisará saber para a prova).
Definições e fórmulas principais para uma curva no espaço \varphi(\mathrm{t}):
  • Vetor velocidade: \displaystyle \mathbf{v}(\mathrm{t})=\varphi'(\mathrm{t}). Esse vetor dá direção e sentido da trajetória; suas componentes são as derivadas das componentes da curva.
  • Velocidade escalar (ou rapidez): \displaystyle v(\mathrm{t})=\|\mathbf{v}(\mathrm{t})\|. É a norma (módulo) do vetor velocidade.
  • Vetor aceleração: \displaystyle \mathbf{a}(\mathrm{t})=\varphi''(\mathrm{t}).
  • Componente tangencial da aceleração (às vezes escrita a_T): é a projeção da aceleração na direção do vetor velocidade; formula prática:
\displaystyle a_T(\mathrm{t})=\frac{\mathbf{v}(\mathrm{t})\cdot\mathbf{a}(\mathrm{t})}{\|\mathbf{v}(\mathrm{t})\|}.
Interpretação: mede a variação da rapidez ao longo do tempo.
  • Componente normal da aceleração (às vezes a_N): mede a parte da aceleração que muda a direção da velocidade; fórmulas equivalentes úteis:
\displaystyle a_N(\mathrm{t})=\sqrt{\|\mathbf{a}(\mathrm{t})\|^{2}-a_T(\mathrm{t})^{2}} \qquad\text{ou}\qquad \displaystyle a_N(\mathrm{t})=\frac{\|\mathbf{v}(\mathrm{t})\times\mathbf{a}(\mathrm{t})\|}{\|\mathbf{v}(\mathrm{t})\|}.
Explicação rápida: a decomposição \mathbf{a}=a_T\mathbf{T}+a_N\mathbf{N}, sendo \mathbf{T} o versor tangente e \mathbf{N} o versor normal.
Essas são as fórmulas que se usam na prova: primeiro calcule \varphi'(\mathrm{t}) e \varphi''(\mathrm{t}), depois aplique as expressões acima.

Passo 4

Calcular simbolicamente \varphi'(\mathrm{t}) e \varphi''(\mathrm{t}) (passo-a-passo das derivadas das componentes; isso é mecânico mas importante):
A curva é \varphi(\mathrm{t})=\left(\mathrm{t}^{2},\,\mathrm{t}^{3}-2,\,\mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}\right).
Derivando componente a componente:
\varphi'(\mathrm{t})=\left(2\mathrm{t},\;3\mathrm{t}^{2},\;1+2\mathrm{t}\right).
Derivando de novo para a aceleração:
\varphi''(\mathrm{t})=\left(2,\;6\mathrm{t},\;2\right).
Mostrei passo a passo: derivada de \mathrm{t}^{2} é 2\mathrm{t}; de \mathrm{t}^{3}-2 é 3\mathrm{t}^{2}; de \mathrm{t}+\mathrm{t}^{2} é 1+2\mathrm{t}. Segunda derivada idem.

Passo 5

Expressões gerais para velocidade escalar, aceleração tangencial e normal em função de \mathrm{t} (colocando as derivadas já encontradas):
Velocidade escalar:
v(\mathrm{t})=\|\varphi'(\mathrm{t})\|=\sqrt{(2\mathrm{t})^{2}+(3\mathrm{t}^{2})^{2}+(1+2\mathrm{t})^{2}}.
Fazendo as contas dentro da raiz:
v(\mathrm{t})=\sqrt{9\mathrm{t}^{4}+8\mathrm{t}^{2}+4\mathrm{t}+1}.
Expliquei: multiplica-se e soma-se cada componente ao quadrado; juntei termos semelhantes.
Componente tangencial:
Calcule o produto escalar \varphi'(\mathrm{t})\cdot\varphi''(\mathrm{t}):
\varphi'(\mathrm{t})\cdot\varphi''(\mathrm{t})=(2\mathrm{t})\cdot2+(3\mathrm{t}^{2})\cdot(6\mathrm{t})+(1+2\mathrm{t})\cdot2.
Fazendo as multiplicações:
\varphi'(\mathrm{t})\cdot\varphi''(\mathrm{t})=4\mathrm{t}+18\mathrm{t}^{3}+2+4\mathrm{t}=18\mathrm{t}^{3}+8\mathrm{t}+2.
Portanto
a_T(\mathrm{t})=\frac{18\mathrm{t}^{3}+8\mathrm{t}+2}{\sqrt{9\mathrm{t}^{4}+8\mathrm{t}^{2}+4\mathrm{t}+1}}.
Expliquei: é o produto escalar dividido pela rapidez.
Componente normal:
Usaremos a fórmula com produto vetorial porque é direta:
a_N(\mathrm{t})=\frac{\|\varphi'(\mathrm{t})\times\varphi''(\mathrm{t})\|}{\|\varphi'(\mathrm{t})\|}.
Calcular o produto vetorial (determinante com as componentes):
\varphi'(\mathrm{t})\times\varphi''(\mathrm{t})=\bigl(-6\mathrm{t}-6\mathrm{t}^{2},\;2,\;6\mathrm{t}^{2}\bigr).
(Detalhe das contas: componente x = 3\mathrm{t}^{2}\cdot2-(1+2\mathrm{t})\cdot6\mathrm{t}=6\mathrm{t}^{2}-6\mathrm{t}-12\mathrm{t}^{2}=-6\mathrm{t}-6\mathrm{t}^{2}; componente y= (1+2\mathrm{t})\cdot2-(2\mathrm{t})\cdot2=2; componente z= 2\mathrm{t}\cdot6\mathrm{t}-3\mathrm{t}^{2}\cdot2=6\mathrm{t}^{2}.)
Norma ao quadrado desse vetorial:
\|\varphi'(\mathrm{t})\times\varphi''(\mathrm{t})\|^{2}=72\mathrm{t}^{4}+72\mathrm{t}^{3}+36\mathrm{t}^{2}+4.
Então
a_N(\mathrm{t})=\frac{\sqrt{72\mathrm{t}^{4}+72\mathrm{t}^{3}+36\mathrm{t}^{2}+4}}{\sqrt{9\mathrm{t}^{4}+8\mathrm{t}^{2}+4\mathrm{t}+1}}.
Também é possível simplificar fatorando 4 do numerador se quiser escrever 2\sqrt{18\mathrm{t}^{4}+18\mathrm{t}^{3}+9\mathrm{t}^{2}+1}, mas não é necessário.

Passo 6

Retomando a situação do enunciado: o ponto pedido (4,6,2) não pertence à curva, logo NÃO é possível avaliar numericamente v, a_T e a_N “nesse ponto” porque não existe \mathrm{t} que gere esse ponto pela parametrização dada. Isso é a resposta direta e indispensável para o pedido como formulado.
Dica útil para a prova (sem pedir nada a mais): se houver erro de digitação no enunciado e o ponto correto fosse, por exemplo, (4,6,6) (que corresponde a \mathrm{t}=2) ou o enunciador quisesse a avaliação em \mathrm{t}=2, é só substituir \mathrm{t}=2 nas fórmulas acima e obter os valores numéricos. Para facilitar seu estudo, mostro rapidamente essas avaliações no caso \mathrm{t}=2 (apenas como exemplo de aplicação das fórmulas):
  • Para \mathrm{t}=2: v(2)=\sqrt{185},\qquad a_T(2)=\frac{162}{\sqrt{185}},\qquad a_N(2)=\frac{\sqrt{1876}}{\sqrt{185}}=\frac{2\sqrt{469}}{\sqrt{185}}.Esses são os valores que se obteriam se o ponto pedido fosse realmente o correspondente a \mathrm{t}=2.

Resposta

O ponto \,(4,6,2)\, não pertence à curva \varphi(\mathrm{t}); portanto não é possível calcular a velocidade escalar, a aceleração tangencial e a aceleração normal nesse ponto.

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