Encontre a primeira raiz positiva da função
através do método das secantes com 5 dígitos significativos exatos.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: encontrar a primeira raiz positiva da função
usando o método das secantes, com dígitos significativos exatos. - Informação importante dada: a fórmula da função
. Não há outras restrições (por exemplo, escolha de pontos iniciais), então escolhemos pontos iniciais apropriados para a primeira raiz positiva.
Resumo do alvo: queremos a menor
tal que
. O método das secantes irá gerar uma sequência
aproximando essa raiz; vamos parar quando tivermos a precisão exigida de
dígitos significativos (descrito e aplicado nos passos seguintes).
Passo 2
Breve explicação didática do método das secantes e critério de parada pedido.
- Ideia do método das secantes: a cada iteração usa-se a reta que passa pelos pontos
e e toma-se a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . Fórmula:
- O que significa cada variável na fórmula:
e são as duas últimas aproximações; e são os valores da função nesses pontos; é a nova aproximação obtida pela intersecção da secante com o eixo . - Critério de parada para “
dígitos significativos exatos”: vou usar o critério prático e comum em provas: parar quando duas aproximações consecutivas, arredondadas para dígitos significativos, coincidem. Explico como arredondar: contamos 5 algarismos a partir do primeiro algarismo não nulo, e arredondamos o quinto algarismo conforme o sexto. Ex.: arredondado a 5 dígitos significativos é .
Passo 3
Escolha dos pontos iniciais e justificativa.
- Para achar a primeira raiz positiva, é útil procurar um intervalo pequeno onde
mude de sinal. Avaliando alguns pontos: -
(negativo). -
(positivo).
-
- Logo existe pelo menos uma raiz em
; verificando alguns valores intermediários vimos que permanece negativo até aproximadamente . Para o método das secantes, escolho como pontos iniciais
pois
e
têm sinais opostos e estão bem próximos da raiz — isso tende a acelerar a convergência.
Passo 4
Cálculo de
e
com explicação dos passos numéricos.
-
Definição:
. -
Calcular
. -
, então o argumento do cosseno é . - Para
uso a identidade com . Valores conhecidos (com precisão suficiente para nossas contas):
.
Assim - Para
usamos redução pela subtração de :
, logo .
Note que, então . Assim - Logo
-
-
Calcular
. -
, argumento do cosseno . - Para
usamos:
. Então - Para
fazemos . Então .
Observando, temos e portanto .
Com a expansão em série para seno de ângulo pequeno:
, obtemos
.
Assim - Logo
-
Constatamos:
e
, sinais opostos — bom ponto de partida.
Passo 5
Primeira iteração da secante (gera
) com contas detalhadas.
- Fórmula:
- Substituindo
: -
. -
. - Produto
. - Divisão
. - Portanto
-
Anotação: mantenho boas casas decimais intermediárias para evitar erros de arredondamento.
Passo 6
Avaliação de
(precisão suficiente) para usar na próxima iteração.
- Temos
. Calculemos . -
(cálculo direto da multiplicação). - Argumento do cosseno
. - Para
usamos Taylor em torno de : com .
Come ,
obtemos - Para
: . Assim .
Note, então , e portanto
(usando série para seno pequeno). - Assim
-
Observação:
já é muito pequeno (próximo de zero), sinal negativo minúsculo.
Passo 7
Segunda iteração da secante (gera
) e verificação do critério de
dígitos significativos.
- Novamente a fórmula:
-
Substituindo números:
-
. -
. - Diferença
. - Produto
. - Dividindo:
. - Portanto
-
-
Agora aplicamos o critério de
dígitos significativos: arredondar e a dígitos significativos e verificar se coincidem. -
. Arredondando a dígitos significativos: (o quinto dígito é e o sexto dígito faz arredondar para ). -
. Arredondando a dígitos significativos: (o quinto dígito já é e o seguinte é , permanece ).
-
-
Como os dois valores arredondados a
dígitos significativos coincidem ( ), atendemos ao critério pedido: temos dígitos significativos exatos.
Passo 8
Conclusão e interpretação.
- O método das secantes, a partir de
e , convergiu rapidamente. Depois de duas iterações obtivemos as aproximações e , que coincidem se arredondadas a dígitos significativos: . - Portanto a primeira raiz positiva aproximada com
dígitos significativos exatos é .