Encontre a primeira raiz positiva da função f(x)=\sin x+\cos \left(1+x^{2}\right)-1 através do método das secantes com 5 dígitos significativos exatos.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: encontrar a primeira raiz positiva da função f(x)=\sin x+\cos\left(1+x^{2}\right)-1 usando o método das secantes, com 5 dígitos significativos exatos.
  • Informação importante dada: a fórmula da função f. Não há outras restrições (por exemplo, escolha de pontos iniciais), então escolhemos pontos iniciais apropriados para a primeira raiz positiva.
Resumo do alvo: queremos a menor x>0 tal que f(x)=0. O método das secantes irá gerar uma sequência \{x_{n}\} aproximando essa raiz; vamos parar quando tivermos a precisão exigida de 5 dígitos significativos (descrito e aplicado nos passos seguintes).

Passo 2

Breve explicação didática do método das secantes e critério de parada pedido.
  • Ideia do método das secantes: a cada iteração usa-se a reta que passa pelos pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_{n},f(x_{n})) e toma-se a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}. Fórmula:
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  • O que significa cada variável na fórmula: x_{n-1} e x_{n} são as duas últimas aproximações; f(x_{n-1}) e f(x_{n}) são os valores da função nesses pontos; x_{n+1} é a nova aproximação obtida pela intersecção da secante com o eixo x.
  • Critério de parada para “ 5 dígitos significativos exatos”: vou usar o critério prático e comum em provas: parar quando duas aproximações consecutivas, arredondadas para 5 dígitos significativos, coincidem. Explico como arredondar: contamos 5 algarismos a partir do primeiro algarismo não nulo, e arredondamos o quinto algarismo conforme o sexto. Ex.: 1,944579 arredondado a 5 dígitos significativos é 1,9446.

Passo 3

Escolha dos pontos iniciais e justificativa.
  • Para achar a primeira raiz positiva, é útil procurar um intervalo pequeno onde f mude de sinal. Avaliando alguns pontos:
    • f(0)=\sin 0+\cos(1+0)-1=\cos 1-1\approx -0,4597 (negativo).
    • f(2)=\sin 2+\cos(1+4)-1\approx 0,9092974+0,2836622-1\approx 0,19296 (positivo).
  • Logo existe pelo menos uma raiz em (0,2); verificando alguns valores intermediários vimos que f(x) permanece negativo até aproximadamente x\approx1,94. Para o método das secantes, escolho como pontos iniciais
x_{0}=1{,}90,\qquad x_{1}=1{,}95,
pois f(1{,}90) e f(1{,}95) têm sinais opostos e estão bem próximos da raiz — isso tende a acelerar a convergência.

Passo 4

Cálculo de f(1{,}90) e f(1{,}95) com explicação dos passos numéricos.
  • Definição: f(x)=\sin x+\cos(1+x^{2})-1.
  • Calcular f(1{,}90).
    • x=1{,}90\Rightarrow x^{2}=3{,}61, então o argumento do cosseno é 1+x^{2}=4{,}61.
    • Para \sin(1{,}90) uso a identidade \sin(2-h)=\sin 2\cos h-\cos 2\sin h com h=0{,}10. Valores conhecidos (com precisão suficiente para nossas contas):
      \sin 2\approx 0{,}9092974268,\;\cos 2\approx -0{,}4161468365,\;\cos 0{,}10\approx 0{,}9950041653,\;\sin 0{,}10\approx 0{,}0998334166.
      Assim \sin(1{,}90)=\sin(2-0{,}10)\approx 0{,}9092974268\cdot0{,}9950041653-(-0{,}4161468365)\cdot0{,}0998334166\approx 0{,}9463000877.
    • Para \cos(4{,}61) usamos redução pela subtração de \pi:
      4{,}61=\pi+1{,}4684073464, logo \cos(4{,}61)=-\cos(1{,}4684073464).
      Note que 1{,}4684073464=\tfrac{\pi}{2}-0{,}102389, então \cos(1{,}4684)=\sin(0{,}102389)\approx 0{,}102195. Assim \cos(4{,}61)\approx -0{,}102195\.
    • Logo f(1{,}90)\approx 0{,}9463000877+(-0{,}102195)-1\approx -0{,}1558948120.
  • Calcular f(1{,}95).
    • x=1{,}95\Rightarrow x^{2}=3{,}8025, argumento do cosseno 1+x^{2}=4{,}8025.
    • Para \sin(1{,}95)=\sin(2-0{,}05) usamos:
      \cos 0{,}05\approx 0{,}9987502604,\;\sin 0{,}05\approx 0{,}0499791693. Então \sin(1{,}95)\approx 0{,}9092974268\cdot0{,}9987502604-(-0{,}4161468365)\cdot0{,}0499791693\approx 0{,}9289681660.
    • Para \cos(4{,}8025) fazemos 4{,}8025=\pi+1{,}6609073464. Então \cos(4{,}8025)=-\cos(1{,}6609073464).
      Observando 1{,}6609073464=\tfrac{\pi}{2}+0{,}0901110196, temos \cos(1{,}660907)=-\sin(0{,}0901110196) e portanto \cos(4{,}8025)=\sin(0{,}0901110196).
      Com a expansão em série para seno de ângulo pequeno:
      \sin a \approx a-\dfrac{a^{3}}{6}, obtemos
      \sin(0{,}0901110196)\approx 0{,}08998905.
      Assim \cos(4{,}8025)\approx 0{,}08998905.
    • Logo f(1{,}95)\approx 0{,}9289681660+0{,}08998905-1\approx 0{,}0189572160.
Constatamos: f(1{,}90)\approx -0{,}1558948120 e f(1{,}95)\approx 0{,}0189572160, sinais opostos — bom ponto de partida.

Passo 5

Primeira iteração da secante (gera x_{2}) com contas detalhadas.
  • Fórmula:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}.
  • Substituindo x_{0}=1{,}90,\;x_{1}=1{,}95,\;f(x_{0})\approx -0{,}1558948120,\;f(x_{1})\approx 0{,}0189572160:
    • x_{1}-x_{0}=0{,}05.
    • f(x_{1})-f(x_{0})\approx 0{,}0189572160-(-0{,}1558948120)=0{,}1748520280.
    • Produto f(x_{1})(x_{1}-x_{0})\approx 0{,}0189572160\cdot0{,}05=0{,}0009478608.
    • Divisão \dfrac{0{,}0009478608}{0{,}1748520280}\approx 0{,}005421.
    • Portanto x_{2}\approx 1{,}95-0{,}005421\approx 1{,}944579.
Anotação: mantenho boas casas decimais intermediárias para evitar erros de arredondamento.

Passo 6

Avaliação de f(x_{2}) (precisão suficiente) para usar na próxima iteração.
  • Temos x_{2}\approx 1{,}944579. Calculemos f(1{,}944579).
    • x_{2}^{2}\approx 1{,}944579^{2}\approx 3{,}781397 (cálculo direto da multiplicação).
    • Argumento do cosseno 1+x_{2}^{2}\approx 4{,}781397.
    • Para \sin(1{,}944579) usamos Taylor em torno de 2: \sin(2-h)=\sin 2\cos h-\cos 2\sin h com h\approx 0{,}055421.
      Com \cos 0{,}055421\approx 0{,}9984632 e \sin 0{,}055421\approx 0{,}0553925,
      obtemos \sin(1{,}944579)\approx 0{,}9092974268\cdot0{,}9984632-(-0{,}4161468365)\cdot0{,}0553925\approx 0{,}9309304.
    • Para \cos(4{,}781397): 4{,}781397=\pi+1{,}6398043464. Assim \cos(4{,}781397)=-\cos(1{,}6398043464).
      Note 1{,}6398043464=\tfrac{\pi}{2}+0{,}0690080196, então \cos(1{,}639804)\approx -\sin(0{,}0690080196), e portanto
      \cos(4{,}781397)=\sin(0{,}0690080196)\approx 0{,}068953 (usando série para seno pequeno).
    • Assim f(1{,}944579)\approx 0{,}9309304+0{,}068953-1\approx -0{,}0001166.
Observação: f(x_{2}) já é muito pequeno (próximo de zero), sinal negativo minúsculo.

Passo 7

Segunda iteração da secante (gera x_{3}) e verificação do critério de 5 dígitos significativos.
  • Novamente a fórmula:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
  • Substituindo números:
    • x_{2}-x_{1}=1{,}944579-1{,}95=-0{,}005421.
    • f(x_{2})\approx -0{,}0001166,\;f(x_{1})\approx 0{,}0189572160.
    • Diferença f(x_{2})-f(x_{1})\approx -0{,}0001166-0{,}0189572160=-0{,}0190738.
    • Produto f(x_{2})(x_{2}-x_{1})\approx (-0{,}0001166)\cdot(-0{,}005421)=+0{,}0000006322.
    • Dividindo: \dfrac{0{,}0000006322}{-0{,}0190738}\approx -0{,}00003316.
    • Portanto x_{3}\approx 1{,}944579-(-0{,}00003316)=1{,}94461216\approx 1{,}944612.
  • Agora aplicamos o critério de 5 dígitos significativos: arredondar x_{2} e x_{3} a 5 dígitos significativos e verificar se coincidem.
    • x_{2}\approx 1{,}944579. Arredondando a 5 dígitos significativos: 1{,}9446 (o quinto dígito é 5 e o sexto dígito 7 faz arredondar para 1{,}9446).
    • x_{3}\approx 1{,}944612. Arredondando a 5 dígitos significativos: 1{,}9446 (o quinto dígito já é 6 e o seguinte é 1, permanece 6).
  • Como os dois valores arredondados a 5 dígitos significativos coincidem ( 1{,}9446), atendemos ao critério pedido: temos 5 dígitos significativos exatos.

Passo 8

Conclusão e interpretação.
  • O método das secantes, a partir de x_{0}=1{,}90 e x_{1}=1{,}95, convergiu rapidamente. Depois de duas iterações obtivemos as aproximações x_{2}\approx 1{,}944579 e x_{3}\approx 1{,}944612, que coincidem se arredondadas a 5 dígitos significativos: 1{,}9446.
  • Portanto a primeira raiz positiva aproximada com 5 dígitos significativos exatos é 1{,}9446.

Resposta

1{,}9446

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