Considere a elipse parametrizada
. Considerando a parametrização uma trajetória, calcule a velocidade e aceleração vetorial no ponto
Passo 1
O enunciado dá a parametrização da curva (trajetória)
e pede: calcular a velocidade vetorial e a aceleração vetorial no ponto .
e pede: calcular a velocidade vetorial e a aceleração vetorial no ponto
Informações relevantes fornecidas:
- A curva é dada por
. - O ponto onde devemos avaliar é
. - Precisamos retornar a velocidade
e a aceleração avaliadas no(s) correspondente(s) a esse ponto.
Passo 2
A primeira coisa prática é encontrar o(s) valor(es) de
para os quais
Isto dá o sistema
As funções
e
com esses valores correspondem ao ângulo
(mais gerais
,
). Como ambos os sinais são positivos, o ângulo principal é
. Vamos usar
para avaliar as derivadas.
Passo 3
Lembrete didático rápido:
- A velocidade vetorial de uma trajetória parametrizada
é a derivada componente a componente:
Isto resulta em um vetor que aponta na direção tangente à curva e cujo módulo é a rapidez.
- A aceleração vetorial é a segunda derivada:
- Regras de derivação usadas aqui:
e . Para funções vetoriais, deriva-se cada componente separadamente.
Passo 4
Derivando componente a componente:
Aplicando as regras de derivação:
Derivando novamente para obter a aceleração:
Passo 5
Agora avaliamos
e
em
.
Conhecendo e
, substituímos:
Conhecendo
Para a velocidade:
Para a aceleração:
Passo 6
Interpretação rápida (útil para a prova):
é o vetor tangente à curva no ponto pedido; seus sinais mostram que nas componentes
e
há velocidade negativa (movendo-se no sentido decrescente de
) enquanto a componente
é positiva. A aceleração
indica como a velocidade muda naquele instante; aqui há contribuição negativa nas três componentes (o que pode corresponder a uma curvatura que tende a reduzir as componentes atualmente positivas da velocidade).