Considere a hélice parametrizada \varphi(\mathrm{t})=(\mathrm{t}, \cos (2 \mathrm{t}), \operatorname{sen}(2 \mathrm{t})) e o ponto \left(\frac{\pi}{4}, 0,1\right) Calcule os vetores tangente, normal e binormal unitários nesse ponto

Passo 1

O enunciado dá a hélice parametrizada \varphi(t)=(t,\cos(2t),\sin(2t)) e pede os vetores tangente, normal e binormal unitários no ponto \left(\frac{\pi}{4},0,1\right).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A primeira coordenada da curva é t. Como o ponto tem primeira coordenada \frac{\pi}{4}, o parâmetro correspondente é t_0=\frac{\pi}{4}.
  • Precisamos calcular, no ponto t=t_0:
    • o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t_0);
    • o vetor normal principal unitário \mathbf{N}(t_0);
    • o vetor binormal unitário \mathbf{B}(t_0).

Passo 2

Vou calcular a derivada da parametrização \varphi(t) para obter o vetor velocidade (que aponta na direção tangente não normalizada). Diferenciando componente a componente:
\varphi(t)=(t,\cos(2t),\sin(2t)).
Regra de derivação usada: \dfrac{d}{dt}\cos(2t)=-2\sin(2t) e \dfrac{d}{dt}\sin(2t)=2\cos(2t). Assim,
\varphi'(t)=\left(1,\,-2\sin(2t),\,2\cos(2t)\right).
Agora avalio em t_0=\dfrac{\pi}{4}. Como \sin(2t_0)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e \cos(2t_0)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0, obtemos
\varphi'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\left(1,-2,0\right).
A norma (velocidade escalar) é
\left\|\varphi'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\right\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{5}.
O vetor tangente unitário é a normalização de \varphi':
\mathbf{T}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\varphi'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)}{\left\|\varphi'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\right\|} =\left(\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}},0\right).
Explicação curta da ideia: o vetor velocidade aponta na direção da curva; ao dividir pela sua norma obtemos um vetor de comprimento 1 que indica apenas a direção — é o vetor tangente unitário.

Passo 3

Agora precisamos do vetor normal principal \mathbf{N}. Conceito importante: \mathbf{N} tem direção de \dfrac{d\mathbf{T}}{ds} (derivada de \mathbf{T} em relação ao comprimento de arco s), e é unitário. Uma forma prática é computar \dfrac{d\mathbf{T}}{dt} e normalizá-lo; quando a velocidade \|\varphi'(t)\| é constante (como acontece aqui, é \sqrt{5} constante), a normalização de \dfrac{d\mathbf{T}}{dt} dá diretamente \mathbf{N} porque o fator escalar divide e cancela na normalização.
Primeiro escrevo \mathbf{T}(t) para todo t (note que neste caso a norma da velocidade é constante, então fica simples):
\mathbf{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(1,-2\sin(2t),2\cos(2t)\right).
Derivando em relação a t:
\frac{d\mathbf{T}}{dt}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(0,-4\cos(2t),-4\sin(2t)\right).
Avalio em t_0=\dfrac{\pi}{4}. Usando \cos(2t_0)=0 e \sin(2t_0)=1
\frac{d\mathbf{T}}{dt}\Big|_{t_0}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(0,0,-4\right)=\left(0,0,-\frac{4}{\sqrt{5}}\right).
A norma deste vetor é \left\|\dfrac{d\mathbf{T}}{dt}\big|_{t_0}\right\|=\dfrac{4}{\sqrt{5}}. Ao normalizar, obtemos o vetor normal principal:
\mathbf{N}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\dfrac{d\mathbf{T}}{dt}\big|_{t_0}}{\left\|\dfrac{d\mathbf{T}}{dt}\big|_{t_0}\right\|} =\left(0,0,-1\right).
Interpretação: \mathbf{N} aponta para baixo no eixo z neste ponto.

Passo 4

O vetor binormal é definido como o produto vetorial (cross product) do tangente pelo normal:
\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}.
Vou calcular \mathbf{T}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\times\mathbf{N}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right). Substituindo os vetores já obtidos:
\mathbf{T}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}},0\right),\qquad \mathbf{N}=(0,0,-1).
Cálculo componente a componente (regra do determinante):
\mathbf{B}=\left( (-\tfrac{2}{\sqrt{5}})(-1)-0\cdot 0,\; - \big(\tfrac{1}{\sqrt{5}}(-1)-0\cdot 0\big),\; \tfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot 0 - \big(-\tfrac{2}{\sqrt{5}}\big)\cdot 0 \right).
Isso simplifica para
\mathbf{B}=\left(\tfrac{2}{\sqrt{5}},\tfrac{1}{\sqrt{5}},0\right).
Verificação rápida: \|\mathbf{B}\|=\sqrt{\tfrac{4}{5}+\tfrac{1}{5}+0}=1, logo é unitário, e \mathbf{B} é ortogonal a \mathbf{T} e \mathbf{N} como esperado.

Passo 5

Resumo físico-geométrico rápido (para te motivar): temos uma hélice com velocidade constante; no ponto pedido, a direção tangente aponta com componente x positiva e componente y negativa, o normal aponta no sentido negativo do eixo z, e o binormal fica num plano xy com componentes positivas. Tudo isso forma a base ortonormal de Frenet (\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}) naquele ponto.

Resposta

\mathbf{T}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}},-\dfrac{2}{\sqrt{5}},0\right)
\mathbf{N}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\left(0,0,-1\right)
\mathbf{B}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{1}{\sqrt{5}},0\right)

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