Considere a hélice parametrizada \varphi(\mathrm{t})=(\mathrm{t}, \cos (2 \mathrm{t}), \operatorname{sen}(2 \mathrm{t})) e o ponto \left(\frac{\pi}{4}, 0,1\right) Calcule os vetores tangente, normal e binormal unitários nesse ponto
Passo 1
O enunciado dá a hélice parametrizada \varphi(t)=(t,\cos(2t),\sin(2t)) e pede os vetores tangente, normal e binormal unitários no ponto \left(\frac{\pi}{4},0,1\right).
Informações relevantes que temos do enunciado:
A primeira coordenada da curva é t. Como o ponto tem primeira coordenada \frac{\pi}{4}, o parâmetro correspondente é t_0=\frac{\pi}{4}.
Precisamos calcular, no ponto t=t_0:
o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t_0);
o vetor normal principal unitário \mathbf{N}(t_0);
o vetor binormal unitário \mathbf{B}(t_0).
Passo 2
Vou calcular a derivada da parametrização \varphi(t) para obter o vetor velocidade (que aponta na direção tangente não normalizada). Diferenciando componente a componente:
\varphi(t)=(t,\cos(2t),\sin(2t)).
Regra de derivação usada: \dfrac{d}{dt}\cos(2t)=-2\sin(2t) e \dfrac{d}{dt}\sin(2t)=2\cos(2t). Assim,
Explicação curta da ideia: o vetor velocidade aponta na direção da curva; ao dividir pela sua norma obtemos um vetor de comprimento 1 que indica apenas a direção — é o vetor tangente unitário.
Passo 3
Agora precisamos do vetor normal principal \mathbf{N}. Conceito importante: \mathbf{N} tem direção de \dfrac{d\mathbf{T}}{ds} (derivada de \mathbf{T} em relação ao comprimento de arco s), e é unitário. Uma forma prática é computar \dfrac{d\mathbf{T}}{dt} e normalizá-lo; quando a velocidade \|\varphi'(t)\| é constante (como acontece aqui, é \sqrt{5} constante), a normalização de \dfrac{d\mathbf{T}}{dt} dá diretamente \mathbf{N} porque o fator escalar divide e cancela na normalização.
Primeiro escrevo \mathbf{T}(t) para todo t (note que neste caso a norma da velocidade é constante, então fica simples):
Verificação rápida: \|\mathbf{B}\|=\sqrt{\tfrac{4}{5}+\tfrac{1}{5}+0}=1, logo é unitário, e \mathbf{B} é ortogonal a \mathbf{T} e \mathbf{N} como esperado.
Passo 5
Resumo físico-geométrico rápido (para te motivar): temos uma hélice com velocidade constante; no ponto pedido, a direção tangente aponta com componente x positiva e componente y negativa, o normal aponta no sentido negativo do eixo z, e o binormal fica num plano xy com componentes positivas. Tudo isso forma a base ortonormal de Frenet (\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}) naquele ponto.