Considere a curva parametrizada por
e
.
Determine o valor de
em função de
.
Determine o valor de
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva paramétrica com as componentes x(θ)=e^{\cos θ} e y(θ)=e^{\sin θ}. O conteúdo é derivação de função paramétrica, onde vamos usar a regra da cadeia para encontrar dx/dθ e dy/dθ e, depois, dividir dy/dθ por dx/dθ para obter dy/dx.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas em relação a θ usando que d/dθ[e{u(θ)}]=e{u(θ)}·u’(θ). Para x(θ)=e^{\cos θ} temos u(θ)=\cos θ, então u’(θ)=-\sin θ e assim
Passo 3
Para y(θ)=e^{\sin θ} temos v(θ)=\sin θ, logo v’(θ)=\cos θ e portanto
Passo 4
Agora basta usar dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ). Substituindo as expressões acima: