Considere a curva parametrizada por x=e^cos theta e y=e^sen theta.
Determine o valor de d yd x em função de theta.

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva paramétrica com as componentes x(θ)=e^{\cos θ} e y(θ)=e^{\sin θ}. O conteúdo é derivação de função paramétrica, onde vamos usar a regra da cadeia para encontrar dx/dθ e dy/dθ e, depois, dividir dy/dθ por dx/dθ para obter dy/dx.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas em relação a θ usando que d/dθ[e{u(θ)}]=e{u(θ)}·u’(θ). Para x(θ)=e^{\cos θ} temos u(θ)=\cos θ, então u’(θ)=-\sin θ e assim
dx/dθ = e^cos θ cdot (-sin θ) = -sin θ,e^cos θ

Passo 3

Para y(θ)=e^{\sin θ} temos v(θ)=\sin θ, logo v’(θ)=\cos θ e portanto
dy/dθ = e^sin θ cdot cos θ = cos θ,e^sin θ

Passo 4

Agora basta usar dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ). Substituindo as expressões acima:
dydx = cos θ,e^sin θ-sin θ,e^cos θ = -cos θsin θ,e^sin θ - cos θ

Resposta

-cot θ,e^sin θ - cos θ

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