Considere a curva parametrizada por
e
.
Encontre os valores de
que gerem tangentes horizontais ou verticais.
Encontre os valores de
Passo 1
Temos a curva paramétrica definida por x=e^{\cos\theta} e y=e^{\operatorname{sen}\theta}. O conteúdo é derivadas de curvas paramétricas: para achar tangentes horizontais e verticais precisamos calcular dx/dθ e dy/dθ.
Passo 2
Derivando em relação a θ usando a regra da cadeia, obtemos:
Passo 3
Para tangente horizontal impomos dy/dθ=0 com dx/dθ≠0. Como e^{\operatorname{sen}\theta} nunca é zero, fica cosθ=0, ou seja θ=π/2+kπ. Substituindo em dx/dθ temos dx/dθ=-(1)·(±1)=(-1)^{k+1}≠0, logo essas θ geram tangente horizontal.
Passo 4
Para tangente vertical impomos dx/dθ=0 com dy/dθ≠0. Como e^{\cos\theta} nunca é zero, fica sinθ=0, ou seja θ=kπ. Substituindo em dy/dθ temos dy/dθ=1·(±1)=(-1)^k≠0, logo essas θ geram tangente vertical.
Resposta
Tangentes horizontais em
e tangentes verticais em
, com
.