Considere a curva parametrizada por x=e^cos theta e y=e^sen theta.
Encontre os valores de theta que gerem tangentes horizontais ou verticais.

Passo 1

Temos a curva paramétrica definida por x=e^{\cos\theta} e y=e^{\operatorname{sen}\theta}. O conteúdo é derivadas de curvas paramétricas: para achar tangentes horizontais e verticais precisamos calcular dx/dθ e dy/dθ.

Passo 2

Derivando em relação a θ usando a regra da cadeia, obtemos:
dxdtheta=ddthetal(e^costhetar)=e^costhetacdot(-sintheta)=-e^costhetasintheta,
dydtheta=ddthetal(e^senthetar)=e^senthetacdotcostheta

Passo 3

Para tangente horizontal impomos dy/dθ=0 com dx/dθ≠0. Como e^{\operatorname{sen}\theta} nunca é zero, fica cosθ=0, ou seja θ=π/2+kπ. Substituindo em dx/dθ temos dx/dθ=-(1)·(±1)=(-1)^{k+1}≠0, logo essas θ geram tangente horizontal.

Passo 4

Para tangente vertical impomos dx/dθ=0 com dy/dθ≠0. Como e^{\cos\theta} nunca é zero, fica sinθ=0, ou seja θ=kπ. Substituindo em dy/dθ temos dy/dθ=1·(±1)=(-1)^k≠0, logo essas θ geram tangente vertical.

Resposta

Tangentes horizontais em theta=tfracpi2+kpi e tangentes verticais em theta=kpi, com kinZ.

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