Elimine o parâmetro t para encontrar uma equação cartesiana das curvas abaixo
x=t^2-t, y=t+2,-3 <= t <= 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas equações que dependem de um parâmetro chamado t. A missão é eliminar esse t para chegar numa equação que só envolva x e y. Isso faz parte do conteúdo de Equações Paramétricas e Transformação para Equações Cartesiana. Para resolver, vamos precisar manipular as equações para isolar o t e substituir de forma que ele desapareça.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pra segunda equação: y = t + 2. A ideia é isolar o t aqui para facilitar. Então, vamos subtrair 2 dos dois lados:
t = y - 2
Agora, temos uma expressão para t em termos de y. Isso facilita porque podemos substituir esse valor na primeira equação.

Passo 3

Agora que sabemos que t = y - 2, vamos colocar isso na primeira equação que é x = t^2 - t. Substituindo t por y - 2, fica:
x = (y - 2)^2 - (y - 2)
Vamos expandir essa expressão para simplificar.

Passo 4

Expandindo (y - 2)^2, temos:
(y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4
Então, substituindo de volta na equação de x:
x = y^2 - 4y + 4 - y + 2
Agora, vamos combinar os termos semelhantes.

Passo 5

Vamos juntar os termos que têm y:
x = y^2 - 5y + 6
Pronto! Agora temos uma equação que relaciona x e y diretamente, sem depender de t.

Resposta

A equação cartesiana da curva é
x = y^2 - 5y + 6

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