Sobre coordenadas polares, responda:
encontre duas coordenadas polares para a coordenada cartesiana (raiz3,-1), uma com raio positivo e uma com raio negativo.

Passo 1

O enunciado pede para converter a coordenada cartesiana (raiz3,-1) em coordenadas polares, encontrando uma solução com raio positivo e outra com raio negativo. Vamos usar a definição de coordenadas polares onde r=raizx^2+y^2 e o ângulo theta satisfaz tantheta=yx.

Passo 2

Calculamos o raio r aplicando
r=raizx^2+y^2=raiz(raiz3)^2+(-1)^2=raiz3+1=2

Passo 3

Para achar o ângulo theta, usamos
tantheta=yx=-1raiz3=-1raiz3
Sabemos que isso corresponde a theta=-pi6, e como x>0 e y<0 estamos no 4º quadrante, então theta=-pi6 está correto.

Passo 4

A primeira coordenada polar (com raio positivo) é
l(r,thetar)=l(2,,-pi6r)

Passo 5

Para obter uma representação com raio negativo, usamos a propriedade
(r,,theta)equiv(-r,,theta+pi)
Aplicando em r=2 e theta=-tfracpi6, temos raio -2 e ângulo
theta'=-pi6+pi=5pi6

Passo 6

Assim, a segunda coordenada polar (com raio negativo) é
l(r,thetar)=l(-2,,5pi6r)

Resposta

As duas coordenadas polares são
l(2,,-tfracpi6r) com raio positivo
e
l(-2,,tfrac5pi6r) com raio negativo.

Exercícios relacionados