Considere a curva plana C_{0}:\left\{\begin{array}{l}x=t-\operatorname{sen} t \\\ y=1-\cos t\end{array}\right. e seja C_{1} a curva espacial definida por \vec{r}(t)=(t-\operatorname{sen} t) \vec{i}+(1-\cos t) \vec{j}+t \vec{k}.
(a) Calcule \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \mathrm{e} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} no ponto (x, y)=(\pi, 2) da curva C_{0}.
(b) Calcule a curvatura de C_{0} no ponto ( \pi, 2 ).
(c) Seja \vec{T}(t) o vetor tangente unitário a C_{1} e seja P_{1}=(\pi, 2, \pi). Encontre a equação do plano \alpha_{1} por P_{1} e que tem \vec{n}=\vec{T}(\pi) como um vetor normal.
Passo 1
O enunciado fornece duas curvas: a curva plana C_{0} dada por
(a) Calcular \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} e \dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} no ponto (x,y)=(\pi,2) da curva C_{0}.
(b) Calcular a curvatura \kappa de C_{0} no ponto (\pi,2).
(c) Seja \vec{T}(t) o vetor tangente unitário de C_{1} e P_{1}=(\pi,2,\pi). Encontrar a equação do plano \alpha_{1} que passa por P_{1} e tem \vec{n}=\vec{T}(\pi) como vetor normal.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (resumidas):
y''(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}\bigl(1-\cos t\bigr)=\cos t.
Observação didática: em curvas paramétricas x(t),y(t) as derivadas em t representam as taxas de variação das componentes. Usamos estas para obter derivadas em relação a x (ou seja, \mathrm{d}y/\mathrm{d}x) via a regra da cadeia.
Passo 4
Calcular \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} para curvas paramétricas.
Calcular a curvatura \kappa da curva plana C_{0} no ponto t=\pi.
Fórmula (explicação): para uma curva no plano parametrizada por t, a curvatura (magnitude da variação do versor tangente por unidade de comprimento) é dada por
Como o enunciado pede que o plano \alpha_{1} passe por P_{1}=(\pi,2,\pi) e tenha \vec{n}=\vec{T}(\pi) como vetor normal, utilizamos a equação do plano com normal \vec{n}:
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P_{1}\bigr)=0.
Substituindo \vec{n}=\vec{T}(\pi)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,0,1) e multiplicando ambos os lados por \sqrt{5} (para eliminar denominador) obtemos uma forma mais simples:
(2,0,1)\cdot\bigl(x-\pi,\;y-2,\;z-\pi\bigr)=0.
Isso dá a equação
2(x-\pi)+0\cdot(y-2)+1\cdot(z-\pi)=0,
ou, expandindo,
2x+z-3\pi=0.
Resposta
(a) \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\big|_{(\pi,2)}=0, \dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\big|_{(\pi,2)}=-\dfrac{1}{4}
(b) \kappa(\pi)=\dfrac{1}{4}
(c) Equação do plano \alpha_{1}: \;2(x-\pi)+(z-\pi)=0, ou equivalentemente \;2x+z-3\pi=0.