Considere a curva plana C_{0}:\left\{\begin{array}{l}x=t-\operatorname{sen} t \\\ y=1-\cos t\end{array}\right. e seja C_{1} a curva espacial definida por \vec{r}(t)=(t-\operatorname{sen} t) \vec{i}+(1-\cos t) \vec{j}+t \vec{k}.
(a) Calcule \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \mathrm{e} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} no ponto (x, y)=(\pi, 2) da curva C_{0}.
(b) Calcule a curvatura de C_{0} no ponto ( \pi, 2 ).
(c) Seja \vec{T}(t) o vetor tangente unitário a C_{1} e seja P_{1}=(\pi, 2, \pi). Encontre a equação do plano \alpha_{1} por P_{1} e que tem \vec{n}=\vec{T}(\pi) como um vetor normal.

Passo 1

O enunciado fornece duas curvas: a curva plana C_{0} dada por
x(t)=t-\operatorname{sen} t,\qquad y(t)=1-\cos t,
e a curva espacial C_{1} dada por
\vec{r}(t)=(t-\operatorname{sen} t)\,\vec{i}+(1-\cos t)\,\vec{j}+t\,\vec{k}.
As perguntas são:
  • (a) Calcular \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} e \dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} no ponto (x,y)=(\pi,2) da curva C_{0}.
  • (b) Calcular a curvatura \kappa de C_{0} no ponto (\pi,2).
  • (c) Seja \vec{T}(t) o vetor tangente unitário de C_{1} e P_{1}=(\pi,2,\pi). Encontrar a equação do plano \alpha_{1} que passa por P_{1} e tem \vec{n}=\vec{T}(\pi) como vetor normal.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (resumidas):
x(t)=t-\operatorname{sen} t,\qquad y(t)=1-\cos t,\qquad \vec{r}(t)=(x(t),y(t),t).
No Passo seguinte começamos a calcular tudo passo a passo.

Passo 2

Identificar o parâmetro t que corresponde ao ponto (\pi,2) em C_{0}.
Calculo direto:
x(\pi)=\pi-\operatorname{sen}\pi=\pi-0=\pi,
y(\pi)=1-\cos\pi=1-(-1)=2.
Portanto o ponto (\pi,2) corresponde ao parâmetro t=\pi. Vamos trabalhar as derivadas avaliadas em t=\pi.

Passo 3

Calcular as derivadas primeira e segunda em relação a t de x(t) e y(t).
Derivando:
x'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(t-\operatorname{sen} t\bigr)=1-\cos t,
x''(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}\bigl(t-\operatorname{sen} t\bigr)=\sin t.
y'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(1-\cos t\bigr)=\sin t,
y''(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}\bigl(1-\cos t\bigr)=\cos t.
Observação didática: em curvas paramétricas x(t),y(t) as derivadas em t representam as taxas de variação das componentes. Usamos estas para obter derivadas em relação a x (ou seja, \mathrm{d}y/\mathrm{d}x) via a regra da cadeia.

Passo 4

Calcular \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} para curvas paramétricas.
Fórmula (explicação): se x'(t)\neq 0, então
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{y'(t)}{x'(t)}.
Aqui y'(t) é a derivada de y em relação a t e x'(t) é a derivada de x em relação a t. Agora avaliamos em t=\pi:
x'(\pi)=1-\cos\pi=1-(-1)=2,
y'(\pi)=\sin\pi=0.
Logo
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Big|_{t=\pi}=\frac{y'(\pi)}{x'(\pi)}=\frac{0}{2}=0.
Interpretação rápida: a tangente da curva plana C_{0} em t=\pi é horizontal (declive zero).

Passo 5

Calcular \dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} para curvas paramétricas.
Fórmula (explicação e derivação): para curva paramétrica x(t),y(t) com x'(t)\neq 0,
\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(\dfrac{y'(t)}{x'(t)}\right)}{x'(t)}.
Ao simplificar a derivada do quociente obtemos a fórmula usual:
\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{y''(t)\,x'(t)-y'(t)\,x''(t)}{\bigl(x'(t)\bigr)^{3}}.
Agora substituímos as derivadas já encontradas:
y''(t)\,x'(t)-y'(t)\,x''(t)=\cos t\,(1-\cos t)-\sin t\cdot\sin t=\cos t-\cos^{2}t-\sin^{2}t.
Usando \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 obtemos
\cos t-\cos^{2}t-\sin^{2}t=\cos t-1=-(1-\cos t).
Portanto
\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=\frac{-(1-\cos t)}{(1-\cos t)^{3}}=-\frac{1}{(1-\cos t)^{2}}.
Avaliando em t=\pi:
1-\cos\pi=1-(-1)=2,
logo
\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\Big|_{t=\pi}=-\frac{1}{2^{2}}=-\frac{1}{4}.

Passo 6

Calcular a curvatura \kappa da curva plana C_{0} no ponto t=\pi.
Fórmula (explicação): para uma curva no plano parametrizada por t, a curvatura (magnitude da variação do versor tangente por unidade de comprimento) é dada por
\kappa(t)=\frac{\bigl|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Substituindo as derivadas:
já vimos que o numerador simplifica para |\cos t-1|=|1-\cos t|.
Calculemos o denominador:
x'(t)^{2}+y'(t)^{2}=(1-\cos t)^{2}+\sin^{2}t=(1-2\cos t+\cos^{2}t)+\sin^{2}t=2-2\cos t=2(1-\cos t).
Portanto
\kappa(t)=\frac{1-\cos t}{\bigl(2(1-\cos t)\bigr)^{3/2}}=\frac{1}{2^{3/2}\sqrt{1-\cos t}}.
Uma identidade trigonométrica útil: 1-\cos t=2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr). Usando-a,
\kappa(t)=\frac{1}{2^{3/2}\sqrt{2}\,|\sin(t/2)|}=\frac{1}{4\,|\sin(t/2)|}.
Agora avaliar em t=\pi:
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,
logo
\kappa(\pi)=\frac{1}{4}.
Comentário didático: a curvatura é positiva e mede quão “curvada” está a curva; aqui dá 1/4 no ponto pedido.

Passo 7

Parte (c): encontrar \vec{T}(\pi) e a equação do plano \alpha_{1}.
Primeiro calculamos \vec{r}'(t) para a curva espacial:
\vec{r}'(t)=(x'(t),y'(t),1)=(1-\cos t,\;\sin t,\;1).
O vetor tangente unitário é
\vec{T}(t)=\frac{\vec{r}'(t)}{\bigl\|\vec{r}'(t)\bigr\|},
onde \bigl\|\vec{r}'(t)\bigr\|=\sqrt{(1-\cos t)^{2}+\sin^{2}t+1^{2}}.
Avaliar em t=\pi:
\vec{r}'(\pi)=(1-\cos\pi,\;\sin\pi,\;1)=(2,0,1).
Norma:
\bigl\|\vec{r}'(\pi)\bigr\|=\sqrt{2^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}.
Logo
\vec{T}(\pi)=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,0,1).
Como o enunciado pede que o plano \alpha_{1} passe por P_{1}=(\pi,2,\pi) e tenha \vec{n}=\vec{T}(\pi) como vetor normal, utilizamos a equação do plano com normal \vec{n}:
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P_{1}\bigr)=0.
Substituindo \vec{n}=\vec{T}(\pi)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,0,1) e multiplicando ambos os lados por \sqrt{5} (para eliminar denominador) obtemos uma forma mais simples:
(2,0,1)\cdot\bigl(x-\pi,\;y-2,\;z-\pi\bigr)=0.
Isso dá a equação
2(x-\pi)+0\cdot(y-2)+1\cdot(z-\pi)=0,
ou, expandindo,
2x+z-3\pi=0.

Resposta

(a) \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\big|_{(\pi,2)}=0, \dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\big|_{(\pi,2)}=-\dfrac{1}{4}
(b) \kappa(\pi)=\dfrac{1}{4}
(c) Equação do plano \alpha_{1}: \;2(x-\pi)+(z-\pi)=0, ou equivalentemente \;2x+z-3\pi=0.

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