A integral \int_{1}^{\infty} \frac{x+\ln x}{3 x^{2}+x} \mathrm{~d} x é convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{x+\ln x}{3 x^{2}+x}\,\mathrm{d}x
é convergente ou divergente, e justificar a resposta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O intervalo de integração é [1,\infty), portanto a integral é imprópria por causa do limite superior infinito.
  • A função integranda é \displaystyle f(x)=\frac{x+\ln x}{3x^{2}+x}.
  • Para x\ge 1 temos \ln x\ge 0 e 3x^{2}+x>0, então f(x)\ge 0 em [1,\infty).
    Não se pede o valor numérico da integral, apenas decidir convergência/divergência com justificativa.

Passo 2

Definição-chave (para lembrar o que significa convergente aqui): a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x
é definida como o limite
\lim_{A\to\infty}\int_{1}^{A} f(x)\,\mathrm{d}x.
Se esse limite existe e é finito dizemos que a integral é convergente; se o limite é infinito ou não existe, dizemos que é divergente. Vou usar um teste de comparação para decidir o comportamento sem calcular a primitiva.

Passo 3

Idéia heurística que orienta a escolha do teste: para x grande a parcela dominante do numerador x+\ln x é x (pois \ln x cresce muito mais devagar) e a parcela dominante do denominador 3x^{2}+x é 3x^{2}. Assim para x grande
\frac{x+\ln x}{3x^{2}+x}\approx\frac{x}{3x^{2}}=\frac{1}{3x}.
Isso sugere comparar com a função g(x)=\dfrac{1}{x}, cuja integral impropria \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x é conhecida por divergir (é o caso harmônico, diverge logarithmicamente). Para tornar isso rigoroso uso o teste de comparação por limite.

Passo 4

Enunciado do teste de comparação por limites (versão usada): se f(x)\ge 0 e g(x)>0 para x grande e
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L
com 0<L<\infty, então \int_{1}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x converge se, e somente se, \int_{1}^{\infty} g(x)\,\mathrm{d}x converge. Vou aplicar com g(x)=\dfrac{1}{x}.

Passo 5

Calculemos o quociente \dfrac{f(x)}{g(x)} para f(x)=\dfrac{x+\ln x}{3x^{2}+x} e g(x)=\dfrac{1}{x}:
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\dfrac{x+\ln x}{3x^{2}+x}}{\dfrac{1}{x}} =\frac{x+\ln x}{3x^{2}+x}\cdot x =\frac{x^{2}+x\ln x}{3x^{2}+x}.

Passo 6

Agora vamos calcular o limite quando x\to\infty. Para isso divido numerador e denominador por x^{2} (o maior grau presente):
\frac{x^{2}+x\ln x}{3x^{2}+x} =\frac{1+\dfrac{\ln x}{x}}{3+\dfrac{1}{x}}.
Ao fazer x\to\infty obtemos \dfrac{\ln x}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x}\to 0, portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{1+0}{3+0}=\frac{1}{3}.
Logo o limite L=\dfrac{1}{3} é um número positivo e finito.

Passo 7

Pelo teste de comparação por limites, como L=\dfrac{1}{3}\in(0,\infty), as integrais \int_{1}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x e \int_{1}^{\infty} g(x)\,\mathrm{d}x têm o mesmo comportamento (ou convergem ambas, ou divergem ambas). Mas sabemos que
\int_{1}^{A}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln A,
e portanto
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\lim_{A\to\infty}\ln A=+\infty,
ou seja, \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x diverge. Pela comparação, a nossa integral original também diverge.

Passo 8

Conclusão final com justificativa curta: a integral é divergente porque para x grande a integranda tem comportamento assintótico equivalente a \dfrac{1}{3x}, o limite de quociente com \dfrac{1}{x} é \dfrac{1}{3}>0, e a integral de \dfrac{1}{x} diverge, logo a dada também diverge.

Resposta

Divergente.

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