A integral
é convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente, e justificar a resposta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O intervalo de integração é
, portanto a integral é imprópria por causa do limite superior infinito. - A função integranda é
. - Para
temos e , então em .
Não se pede o valor numérico da integral, apenas decidir convergência/divergência com justificativa.
Passo 2
Definição-chave (para lembrar o que significa convergente aqui): a integral imprópria
é definida como o limite
Se esse limite existe e é finito dizemos que a integral é convergente; se o limite é infinito ou não existe, dizemos que é divergente. Vou usar um teste de comparação para decidir o comportamento sem calcular a primitiva.
Passo 3
Idéia heurística que orienta a escolha do teste: para
grande a parcela dominante do numerador
é
(pois
cresce muito mais devagar) e a parcela dominante do denominador
é
. Assim para
grande
Isso sugere comparar com a função
, cuja integral impropria
é conhecida por divergir (é o caso harmônico, diverge logarithmicamente). Para tornar isso rigoroso uso o teste de comparação por limite.
Passo 4
Enunciado do teste de comparação por limites (versão usada): se
e
para
grande e
com
, então
converge se, e somente se,
converge. Vou aplicar com
.
Passo 5
Calculemos o quociente
para
e
:
Passo 6
Agora vamos calcular o limite quando
. Para isso divido numerador e denominador por
(o maior grau presente):
Ao fazer
obtemos
e
, portanto
Logo o limite
é um número positivo e finito.
Passo 7
Pelo teste de comparação por limites, como
, as integrais
e
têm o mesmo comportamento (ou convergem ambas, ou divergem ambas). Mas sabemos que
e portanto
ou seja,
diverge. Pela comparação, a nossa integral original também diverge.
Passo 8
Conclusão final com justificativa curta: a integral é divergente porque para
grande a integranda tem comportamento assintótico equivalente a
, o limite de quociente com
é
, e a integral de
diverge, logo a dada também diverge.
Resposta
Divergente.