A respiração é cíclica e o ciclo completo respiratório desde o início da inalação até o fim da expiração demora cerca de 5 s . A taxa máxima de fluxo de ar nos pulmões é de cerca de
. Isso explica, em partes, porque a função
tem sido frequentemente utilizada para modelar a taxa de fluxo de ar nos pulmões. Use esse modelo para encontrar o volume de ar inalado nos pulmões no instante
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A duração do ciclo respiratório é de
s. - A taxa de fluxo de ar nos pulmões está modelada por
. Aqui tem unidade de litros por segundo . - O que se pede: encontrar o volume de ar inalado nos pulmões no instante
.
Observação/pressuposto: vou assumir que no instante inicialo volume adicional de ar (a partir daquele instante de referência) é . Ou seja, a condição inicial é . Se o enunciado tivesse outra referência, trocaríamos o valor inicial.
Passo 2
Entendendo o que liga fluxo e volume (a ideia principal, explicada devagar):
- A taxa de fluxo
é a velocidade com que o volume muda no tempo; em linguagem matemática isso significa que é a derivada do volume . Escrevemos:
- Para obter o volume
a partir da taxa precisamos fazer a operação inversa da derivada: integrar. Ou seja, é uma antiderivada (primitiva) de . Com a condição inicial usamos a integral definida desde até :
Essa é a fórmula prática: somar (integrar) a taxa ao longo do tempo para obter o volume acumulado.
Passo 3
Calcular a integral correspondente ao nosso
: primeiro simplifico usando uma constante
para deixar tudo limpinho:
Então
. Agora escrevo a integral do volume:
Vou integrar passo a passo. Conhecimento usado: a antiderivada de
em relação a
é
. (Isso vem de que a derivada de
é
, então para obter
precisamos de
.) Aplicando isso:
Passo 4
Avalio o colchete de forma clara:
Como
, isso fica
Agora volto a substituir
para expressar em termos de
:
Passo 5
Simplifico o fator numérico (mostrando a conta):
Substituindo esse resultado na expressão do volume obtemos a forma final (vou colocá-la na seção de resposta única, conforme pedido). Antes de encerrar, checo rapidamente se faz sentido: em
temos
e portanto
, consistente com a condição inicial. Quando
(ponto de inalação máxima na ondulação), o volume acumulado atinge seu máximo; isso pode ser calculado substituindo
na expressão final.