A respiração é cíclica e o ciclo completo respiratório desde o início da inalação até o fim da expiração demora cerca de 5 s . A taxa máxima de fluxo de ar nos pulmões é de cerca de 0,5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Isso explica, em partes, porque a função f(t)=\frac{1}{2} \sin \left(\frac{2 \pi t}{5}\right) tem sido frequentemente utilizada para modelar a taxa de fluxo de ar nos pulmões. Use esse modelo para encontrar o volume de ar inalado nos pulmões no instante t.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A duração do ciclo respiratório é de 5 s.
  • A taxa de fluxo de ar nos pulmões está modelada por \displaystyle f(t)=\frac{1}{2}\sin\!\left(\frac{2\pi t}{5}\right). Aqui f(t) tem unidade de litros por segundo \left(\mathrm{L/s}\right).
  • O que se pede: encontrar o volume de ar inalado nos pulmões no instante t.
    Observação/pressuposto: vou assumir que no instante inicial t=0 o volume adicional de ar (a partir daquele instante de referência) é 0. Ou seja, a condição inicial é V(0)=0. Se o enunciado tivesse outra referência, trocaríamos o valor inicial.

Passo 2

Entendendo o que liga fluxo e volume (a ideia principal, explicada devagar):
  • A taxa de fluxo f(t) é a velocidade com que o volume muda no tempo; em linguagem matemática isso significa que f(t) é a derivada do volume V(t). Escrevemos:
f(t)=\frac{dV}{dt}.
  • Para obter o volume V(t) a partir da taxa f(t) precisamos fazer a operação inversa da derivada: integrar. Ou seja, V(t) é uma antiderivada (primitiva) de f(t). Com a condição inicial V(0)=0 usamos a integral definida desde 0 até t:
V(t)=\int_{0}^{t} f(s)\,ds.
Essa é a fórmula prática: somar (integrar) a taxa ao longo do tempo para obter o volume acumulado.

Passo 3

Calcular a integral correspondente ao nosso f: primeiro simplifico usando uma constante a para deixar tudo limpinho:
a=\frac{2\pi}{5}.
Então f(s)=\dfrac{1}{2}\sin(as). Agora escrevo a integral do volume:
V(t)=\int_{0}^{t}\frac{1}{2}\sin(as)\,ds.
Vou integrar passo a passo. Conhecimento usado: a antiderivada de \sin(as) em relação a s é -\dfrac{1}{a}\cos(as). (Isso vem de que a derivada de \cos(as) é -a\sin(as), então para obter \sin(as) precisamos de -\dfrac{1}{a}\cos(as).) Aplicando isso:
V(t)=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{a}\cos(as)\right]_{s=0}^{s=t}.

Passo 4

Avalio o colchete de forma clara:
V(t)= -\frac{1}{2a}\big(\cos(at)-\cos(0)\big).
Como \cos(0)=1, isso fica
V(t)=-\frac{1}{2a}\big(\cos(at)-1\big).
Agora volto a substituir a=\dfrac{2\pi}{5} para expressar em termos de t:
V(t)=-\frac{1}{2\cdot\frac{2\pi}{5}}\Big(\cos\!\big(\tfrac{2\pi t}{5}\big)-1\Big).

Passo 5

Simplifico o fator numérico (mostrando a conta):
2\cdot\frac{2\pi}{5}=\frac{4\pi}{5}\quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{2a}=-\frac{1}{\frac{4\pi}{5}}=\frac{5}{4\pi}.
Substituindo esse resultado na expressão do volume obtemos a forma final (vou colocá-la na seção de resposta única, conforme pedido). Antes de encerrar, checo rapidamente se faz sentido: em t=0 temos \cos(0)=1 e portanto V(0)=0, consistente com a condição inicial. Quando \cos\big(\tfrac{2\pi t}{5}\big)=-1 (ponto de inalação máxima na ondulação), o volume acumulado atinge seu máximo; isso pode ser calculado substituindo \cos=-1 na expressão final.

Resposta

V(t)=\frac{5}{4\pi}\Big(1-\cos\!\big(\tfrac{2\pi t}{5}\big)\Big)\\ \text{L}

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